Найдите такое значение a>1, при котором уравнение ax=logax имеет единственное решение. В ответе укажите число e⋅lna.

Найти такое $displaystyle ainmathbb{R}$ , что $displaystyle a textgreater 1land{big|{xinmathbb{R} mid a^x=log_a(x)}big|=1}.$

Пусть $displaystyle f(x)=a^x,,g(x)=log_a(x).$

Заметим, что $displaystyle fleft(gleft(xright)right)=a^{log_a(x)}=x$ , то есть $displaystyle g(x)=f^{-1}(x).$

$displaystyle forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)implies{x=f(x)},$ значит имеем $displaystyle x=a^x.$

Уравнение $displaystyle x=a^x$ имеет единственное действительное решение только тогда, когда $displaystyle y=x$ касается $displaystyle y=f(x).$

$displaystyle f(x)=frac{text{d}f(x)}{text{d}x}=frac{text{d}left(a^xright)}{text{d}x}=frac{text{d}left(e^{xlog(a)}right)}{text{d}x}=frac{log(a)e^{xlog(a)}text{d}x}{text{d}x}=log(a)a^x;$

$displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+log(a)a^{x_0}(x-x_0);$

$displaystylebegin{cases}t_{x_0}(0)=0,dfrac{text{d}}{text{d}x}t_{x_0}(x)=dfrac{text{d}x}{text{d}x}=1;end{cases}$

$displaystylebegin{cases}0=a^{x_0}-x_0log(a)a^{x_0},1=log(a)a^{x_0} implies a^{x_0}=dfrac{1}{log(a)};end{cases}$

$displaystyle 0=frac{1}{log(a)}-x_0log(a)frac{1}{log(a)} implies x_0=frac{1}{log(a)};$

$displaystyle 1=log(a)a^{1/log(a)}=log(a)e^{log(a)/log(a)}=log(a)e;$

$displaystyle log(a)=frac{1}{e}implies a=boxed{e^{1/e}}phantom{.};$

$displaystyle a=e^{1/e}implies elog(a)=elog(e^{1/e})=efrac{1}{e}log(e)=boxed{1}phantom{.}.$