Найти общее решение y"-7y=3x^2+4x+4

Данное уравнение - линейное неоднородное.
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного.
Соответствующее однородное уравнение имеет вид
$y - 7y = 0$ .
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
$k^2 - 7k = 0$ .
Его корни $k_1 = 0, k_2 = 7$ .
Общее решение однородного уравнения имеет вид
$y_0(x) = C_1e^{7x} + C_2$ , где C1, C2 - произвольные постоянные.
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Сделаем это методом подбора.
Так как один из корней характеристического уравнения равен нулю, то "очевидный подбор" $y = Ax^2 + Bx + C$ следует умножить на x и в таком виде искать решение. То есть, ищем частное решение неоднородного уравнения в виде $tilde{y}(x) = x(Ax^2+Bx+C)$ , где A, B, C - неизвестные числа.
Дифференцируя, находим выражения для y и y:
$y = 3Ax^2+2Bx+C y = 6Ax+2B$ .
Подставляем полученные выражения в уравнение:
$(6Ax+2B) - 7(3Ax^2+2Bx+C) = 3x^2+4x+4 -21Ax^2+(6A-14B)x+(2B-7C) = 3x^2+4x+4$ .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, будем иметь:
$left{begin{matrix}-21A=36A-14B=42B-7C=4end{matrix}right.$
Решая эту систему, имеем:
$left{begin{matrix} A=- frac{1}{7} B=- frac{17}{49} C=- frac{230}{343} end{matrix}right.$
То есть, частное решение неоднородного уравнения есть
$tilde{y}(x) = - frac{1}{7} x^3 - frac{17}{49} x^2 - frac{230}{343} x$ .
Значит общее решение неоднородного уравнения имеет вид
$y(x) = y_0(x) + tilde{y}(x) = C_1e^{7x} + C_2 - frac{1}{7} x^3 - frac{17}{49} x^2 - frac{230}{343} x$ .