Вычислить углы равнобедренного треугольника, в котором центр вписанной и описанной окружностей взаимно симметричны относительно оснований треугольника.

Введём обозначения:
r - радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,
а - сторона основания треугольника,
в - боковая сторона треугольника,
х - угол при основании треугольника.
Известно, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а описанной - на пересечении срединных перпендикуляров.
Имеем $r= frac{a}{2} *tg( frac{x}{2} )= frac{a*tg frac{x}{2} }{2}$ .
Опустим перпендикуляры из центров окружностей на боковую сторону. Получим прямоугольную трапецию с основаниями r и R, вертикальная сторона равна (а/2) - (в/2), наклонная равна 2r (центры равно удаленны от основания).
Острый угол трапеции равен углу х как взаимно перпендикулярный.
Выразим сторону в через сторону а:
$b= frac{a}{2*cosx}$ .
Далее имеем $sinx= frac{ frac{a-b}{2} }{2r} = frac{a-b}{4r}$ .
Подставим в уравнение значения b и r, выраженные через а:
$sinx= frac{a- frac{a}{2cosx} }{ frac{4a*tg frac{x}{2} }{2} } = frac{2cosx-1}{4cosx*tg frac{x}{2} }$ .
Решение этого уравнения даёт один из корней:
$x=4( pi n+ frac{ pi }{20} )$ .
Это соответствует х = 4*(180/20) = 4*9 = 36 градусов.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы