Докажите , что число из любых 23 натуральных чисел можно выбрать ровно 12 , сумма которых делится на 12
Решение опирается на 2вспомогательных утверждения:
!)Среди любых 5 натуральных чисел найдутся 3числа сумма которых кратна 3.
Доказывается очень просто. Рассматриваем остаткичисел от деления на 3 и используем тот факт, что сумма возможных 3-х остатков отделения на 3 равна 3.
2) Среди любых трех натуральных чисел найдутся 2сумма которых четна. Это, почти очевидно. Среди трех чисел возможны остатки(0,0,0),(1,0,0) , (1,1,0) и (1,1,1).
Из первого утверждения находим, что среди любых23 натуральных чисел можно выбрать 7 троек сумма чисел в которых делится на 3.
Это делается так: берутся любые 5 чисел,находится искомая тройка. Эти 3 числа убираются. Остается 20. И так 6раз. Остается 5. Из них выбирается последняя СЕДЬМАЯ тройка.
Из этих 7 сумм можно выбрать 3 пары сумм , суммы6 -ти чисел в которых четны. Это делается точно также. Сначала выбираем 2тройки. Потом еще 2 и еще один раз.
Из этих трех пар троек (шестерок чисел) можно всегда выбрать одну сумма чисел в которой делится на 4.
Она и есть искомая последовательностьдвенадцати чисел. Сумма делится и на 4 и на 3.
Давал уже ответ на эту задачу. Удалили саму задачу вместе с решением, как Олимпиадную.
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
