Дан треугольник. Внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите r, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны 5 и 15 соответственно.

Очень кондовое решение
Пусть $AB=a BC=b AC=c c=30*sinB a=30*sin(A+B) b=30*sinA$
Последнее через теореме синусов
Тогда , из условию следует что
$sinB+sin(A+B)+sinA = 6*sinB*sin(A+B)*sinA$
Это следствие из формулы $S=pr S=frac{abc}{4R}$
Теперь , положим что $angle A= angle B$
Из выше описанной формулы следует что    $A=B=2arctg( sqrt{frac{5-sqrt{12}}{13}} )$
$b=c=5sqrt{24-6sqrt{3}} a=10sqrt{5+2sqrt{3}}$
Впишем наш контр пример , в координатную систему $OXY$
$A(0;0) B(10sqrt{5+2sqrt{3}};0)$
Тогда центры меньших треугольников будут равны
$O_{A} (r sqrt{5+sqrt{12}} ; r) O _{B} ((sqr{5+sqrt{12 })*(10-r) ; r)$
$O_{N} (5 sqrt{5+sqrt{12}} ; y) O_{C} (5sqrt{5+sqrt{12}} ; y+2r)$
Найдем координату $y$
Его можно найти
Из уравнения
$(x-rsqrt{5+sqrt{12}}) ^ 2 + (y-r)^2=4r^2 ( (x - sqrt{5+sqrt{12}})*(10-r))^2+(y-r)^2=4r^2$
Найдя его , затем учитывая что
$d( O_{A}O_{N}) = 4r^2$
Найдем что $r=3$
Но задача , видимо решается через так называемую ГОМОТЕТИЮ