Задача 1:Взяли четыре натуральных числа a,b,c,d и вычислили все их попарные суммы. Получилось 13,15,16,20,22 и ещё одно число.Найдите числа a,b,c,d.
Задача 2:Пусть a,b-- положительные числа такие,что (a+b-ab)*(a+b+ab)=ab.Найдите, какое наименьшее значение может принимать выражение a+b+ab.
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЕ ПЛИЗ
Прошу прощения, если решение слишком длинное. Более короткого строгого доказательства я не нашёл.
abc + ab + bc + ac + a + b + c = 164
Пусть a,b,c нечётные, тогда в левой части сумма 7 нечётных слагаемых, которая тоже нечётная и не может равняться чётному числу из правой части. Аналогично, если среди этих чисел одно или два нечётных, то в левой части одно или три нечётных слагаемых. Значит, все эти числа чётные. Пусть a=2a, b=2b, c=2c, где a,b,c - какие-то натуральные числа. Тогда уравнение будет выглядеть так:
8abc+4ab+4bc+4ac+2a+2b+2c=164. Сократим на 2, получим:
4abc+2ab+2bc+2ac+a+b+c=82.
Предположим, что a≥b≥c и a≥b≥c.
Докажем, что c=1. Действительно, пусть это не так. Тогда a≥b≥c≥2. Причём если a=b=c=2, равенство неверно: 4*8+8+8+8+2+2+2=62≠82. Пусть a=3, b=2, c=2, тогда левая часть равна 48+12+12+12+3+2+2=91>82. Тогда при других значениях a,b,c, таких, что a≥b≥c≥2, левая часть тем более больше 82.
При c=1 уравнение примет вид: 4ab+2ab+2b+2b+a+b=81 или
6ab+3a+3b=81, 2ab+a+b=27. Очевидно, что ровно одно из чисел a, b нечётно. Предполагая, что a≥b, переберём возможные значения a, b.
При b=1 2a+a=26, левая часть делится на 3, правая нет, противоречие.
При b=2 4a+a=25. a=5. Таким образом, получаем решение a=10, b=4, c=2. Легко проверить, что при этих значениях равенство верно. Тогда abc=80.
При b=3 6a+a=24, противоречие, 24 на 7 не делится.
При b≥4 2ab≥32, равенство заведомо не выполняется, так что перебирать нет смысла.
Вообще говоря, тройка (10,4,2) - не единственное решение уравнения. Мы предположили, что a≥b≥c, но если это не так, остальные 5 троек (10,2,4), (2,4,10), (2,10,4), (4,10,2), (4,2,10) - также решения. Тем не менее, во всех случаях произведение abc равно 2*4*10=80. Это и будет ответом.
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
