ХЕЛП! ВЫЧИСЛИТЬ! МАТ АНАЛИЗ 1 КУРС

Интуитивно:
Ясно что функция $f(x)=frac{1}{x}$ ведёт себя так же, как $g(x)=frac{1}{sqrt[3]{x}}$ на области нуля. Следовательно - будет стремится в $-infty$ . Что касается остальных точек на области определения:
$forall xin(-infty,0) sqrt[3]{x}neq0$ , потому $f(x)=frac{1}{sqrt[3]{x}}$ непрерывна на этой области как композиция непрерывных и неравным нулю знаменателем.

Касательно арктангенса - это ограниченная монотонная функция, следовательно стремится к супремуму в бесконечности $frac{pi}{2}$ (супремум легко получить вспомнив что арктангенс - функция обратная от тангенса). В нашем случае аргумент получает бесконечность на $x=2$ (там получаем разрыв).
Увеличивая $x$ , мы уменьшаем аргумент. Функция должна выглядеть как если бы мы попробовали её нарисовать от бесконечности и в обратную сторону...

Формально:
Пусть $Minmathbb R$ , определим $delta:=frac{1}{M^3}$ , тогда получим: $forall xin(delta,0) frac{1}{sqrt[3]{x}}leqfrac{1}{delta}=M$ , значит $lim_{xto0^-}frac{1}{sqrt[3]{x}}=-infty$ по определению.
В остальных точках функия непрерывна как композиция непрерывных со знаменателем не равным нулю.
Визуально ветка выглядит как $frac{1}{x}$ , только с большей кривизной.

Далее - арктангенс.
$lim_{xto0^+}frac{1}{x-2}=-frac{1}{2} Rightarrow lim_{xto0^+}arctanleft(frac{1}{x-2}right)=arctanleft(-frac{1}{2}right)$

Получили разрыв второго порядка в $x=0$

$lim_{xto2^-}frac{1}{x-2}=-infty Rightarrow lim_{xto2^-}arctanleft(frac{1}{x-2}right)=-frac{pi}{2}$
Последнее равенство следует из того, что функия монотонна и стремится к инфимуму в $-infty$ . Утверждение легко доказать, применив довод с супремумом на функцию $h(x)=-arctan(x)$ .

$lim_{xto2^+}frac{1}{x-2}=infty Rightarrow Rightarrow lim_{xto2^+}arctanleft(frac{1}{x-2}right)=frac{pi}{2}$

Получаем скачок в $x=2$

$lim_{xtoinfty}frac{1}{x-2}=0 Rightarrowlim_{xtoinfty}arctanleft(frac{1}{x-2}right)=0$
Последнее равенство следует из непрерывности $arctan(x)$ на области $xin(n,infty)$ для достаточно большого значения $n$ .

Арктангенс - монотонна и растёт от нуля до $frac{pi}{2}$ , пока $x$ растёт от нуля до $infty$ .
Следовательно $arctanleft(frac{1}{x-2}right)$ монотонно убывает на $xin(2,infty)$ и растёт на $xin(0,2)$ .

Итого, есть две точки разрыва:
$x=0$ разрыв второго порядка потому, что левый предел не определён по Коши (не конечный).
$x=2$ скачок.
Функция монотонно убывает на области: $(-infty,0)cup(2,infty)$ , растёт на области $(0,2)$ .
Так же есть горизонтальная асимптота $y=0$ .