Опубликовано 12.06.2017 по предмету Математика от Гость >> <<

Четверо друзей решили подарить библиотечку детскому дому.
Число книг, принесенных Петей, составляет половину книг, принесенных остальными ребятами.
Число книг, принесенных Ваней, составляет одну треть от числа книг, принесенных остальными ребятами.
Число книг, принесенных Толей, составляет четверть от числа книг, принесенных остальными ребятами.
Артем принес 65 книг.
Сколько всего книг собрали ребята?

Ответ оставил Гость

Первый способ.

Пусть Петя принес A, Ваня B, Толя C книг.
Отсюда:
A=(B+C+65)/2  -  (1)
B=(A+C+65)/3  -  (2)
C=(A+B+65)/4  -  (3)
Подставим значения (3) в уравнения (2) и (3):
A=(B+(A+B+65)/4+65)/2  -  (4)
B=(A+(A+B+65)/4+65)/3  -  (5)
Упростим (4):
A=(4B+A+B+65+260)/8
8A=4B+A+B+65+260
7A=5B+325  -  (6)
Упростим (5):
B=(4A+A+B+65+260)/12
12B=4A+A+B+65+260
11B=5A+325
B=(5A+325)/11  -  (7)
Подставим (7) в (6):
7A=(5(5A+325)/11 + 325)
7A=(25A+1625)/11 + 325
77A=25A+1625 + 3575
52A=5200
A=100
100 книг принес Петя.
Подставим значение А в (7):
B=(5*100+325)/11
B=825/11
B=75
75 книг принес Ваня.
Подставим значения A и В в (3):
C=(100+75+65)/4
C=240/4
C=60
60 книг принес Толя.
100+75+60+65=300
Петя, Ваня, Толя и Артем вместе принесли 300 книг.

Второй способ.

Если Петяпринес 1/2 часть от книг, принесенных другими ребятами, значит он принес1/3 книг. Аналогично Ваня принес 1/4, а Толя 1/5. Получаем уравнение1/3X+1/4X+1/5X+65=X. X-1/3X-1/4X-1/5X=65. (60-20-15-12)*X=65*60.13X=65*60. X=5*60=300

Преобразование дробей во втором способе производится на основании нижеследующего доказательства.
N - общее количество книг.
A - количество учебников принесенных первым учеником.
B - количество учебников принесенных другими учениками.
A + B = N
Если первый ученик принес 1/2 часть от остальных тогда
2A = B
A + 2A = N
3A = N
A = N/3
Отсюда мы и выводим, что если ученик принес 1/X от количества учебников, принесенных другими учениками, значит он принес 1/(X+1) от количества учебников, принесенных всеми учениками.