Решите систему линейных уровнений методом гаусса

$left{begin{matrix} x &+ &3y &- &z &= &8 2x &- &y &+ &4z &= &-1 -2x &+ &2y &+ &z &= &4 end{matrix}right.$

Решение методом Гаусса:

Переписать в матричном виде:

$begin{vmatrix} 1 &3 &-1 &| &8 2 &-1 &4 &| &-1 -2 &2 &1 &| &4 end{vmatrix}$

От 2 строки отнять 1 строку, умножив на 2:

$begin{vmatrix} 1 &3 &-1 &| &8 0 &-7 &6 &| &-17 0 &8 &-1 &| &20 end{vmatrix}$

2 строку разделить на (-7):

$begin{vmatrix} 1 &3 &-1 &| &8 0 &1 &-frac{6}{7} &| &frac{17}{7} 0 &8 &-1 &| &20 end{vmatrix}$

От 1 строки отнять 2 строку, умножив на 3:

$begin{vmatrix} 1 &0 &frac{11}{7} &| &frac{5}{7} 0 &1 &-frac{6}{7} &| &frac{17}{7} 0 &0 &frac{41}{7} &| &frac{4}{7} end{vmatrix}$

3 строку разделить на $frac{41}{7}$ :

$begin{vmatrix} 1 &0 &frac{11}{7} &| &frac{5}{7} 0 &1 &-frac{6}{7} &| &frac{17}{7} 0 &0 &1 &| &frac{4}{41} end{vmatrix}$

От 1 строки отнять 3, умножив на $frac{11}{7}$ :

$begin{vmatrix} 1 &0 &0 &| &frac{23}{41} 0 &1 &0 &| &frac{103}{41} 0 &0 &1 &| &frac{4}{41} end{vmatrix}$

Проверка:

$frac{23}{41}+3cdot frac{103}{41}- frac{4}{41}= frac{23}{41}+ frac{309}{41}- frac{4}{41}= frac{328}{41}=8 2cdot frac{23}{41}- frac{103}{41}+4cdot frac{4}{41}= frac{46}{41}- frac{103}{41}+ frac{16}{41}=- frac{41}{41}=-1 -2cdot frac{23}{41}+2cdot frac{103}{41}+ frac{4}{41}=- frac{46}{41}+ frac{206}{41}+ frac{4}{41}= frac{164}{41}= 4$

Ответ: $x= frac{23}{41}; y= frac{103}{41}; z= frac{4}{41}$