Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) длину стороны АВ; б) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; в) внутренний угол В;
г) уравнение медианы АЕ; д) уравнение и длину высоты СD; е) координаты М - точки пересечения медианы АЕ и высоты СD; ж) уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно стороне ВС.
А (2;2)
В (5;6)
С (6;4)

а) Длина стороны АВ: $|AB|= sqrt{(xb-xa)^2+(yb-ya)^2) }= sqrt{(5-2)^2+(6-2)^2} = sqrt{9+16} =$ $sqrt{25}=5.$

б) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты:АВ :Х-Ха =   У-Уа
  Хв-Ха   Ув-Уа
$AB= frac{x-2}{5-2} = frac{y-2}{6-2}$
Получаем уравнение в общем виде:
АВ: 4х - 8 = 3у - 6 или
АВ: 4х - 3у - 2 = 0
Это же уравнение в виде у = кх + в:
у = (4/3)х - (2/3).
Угловой коэффициент к = 4/3.

ВС :Х-Хв = У-Ув
  Хс-Хв   Ус-Ув
$BC: frac{x-5}{6-5}= frac{y-6}{4-6}$
$BC: frac{x-5}{1} = frac{y-6}{-2}$
ВС: 2х + у - 16 = 0.
ВС: у = -2х + 16.
Угловой коэффициент к = -2.

в) Внутренний угол В:Можно определить по теореме косинусов.
Находим длину стороны ВС аналогично стороне АВ:
BC =√((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) =2.236067977
cos В= (АВ²+ВС²-АС²) /  (2*АВ*ВС) =0.447214
Угол B = 1.107149 радиан  = 63.43495 градусов.

Можно определить векторным способом:
Пусть координаты точек
A: (Xa, Ya) = (2; 2) .
B: (Xb, Yb) = (5; 6).
С: (Xc, Yc) = (6; 4).

Находим координаты векторов AB и BС:
AB= (Xb-Xa; Yb-Ya) = ((5 - 2); (6 - 2)) = (3; 4);
BС= (Xc-Xв; Yс-Yв) = ((6 - 5); (4 - 6)) = (1; -2).
Находим длины векторов:
|AB|=√((Xb-Xa)² + (Yb-Ya)^2) = 5 ( по пункту а)
|ВС|=√((Xс-Xв)²+(Yс - Yв) = √(1²+(-2)²) = √5 = 2.236067977.
b=cos α=(AB*ВС)/(|AB|*|ВС|
AB*ВC = (Xв - Xa)*(Xc - Xв) + (Yв - Ya)*(Yc - Yв) =
= 3*1 + 4*(-2) = 3 - 8 = -5.
b = cosα = |-5| / (5*2.236067977) = 5 / 11.18034 = 0.447213620
Угол α=arccos(b) = arc cos  0.4472136 =   1.1071487 радиан = 63.434949°.

г) Уравнение медианы АЕ.
Находим координаты точки Е (это основание медианы АЕ), которые равны полусумме координат точек стороны ВС.
$E: ( frac{5+6}{2} ; frac{6+4}{2} )= (5,5; 5)$
$AE: frac{x-2}{5,5-2} = frac{y-2}{5-2}$
$AE: frac{x-2}{3,5} = frac{y-2}{3}$
3x - 6 = 3,5y - 7
3x - 3,5y + 1 =0, переведя в целые коэффициенты:
6х - 7у + 2 = 0,
С коэффициентом:
у = (6/7)х + (2/7) или
у =0.85714х+0.28571.