В эллипс x^2/128 + y^2/32=1 вписать прямоугольник наибольшей площади. Найти стороны этого прямоугольника, если они параллельны осям

Выразим уравнение эллипса относительно у:
$x^2+4y^2=128$
Отсюда $y=+- sqrt{ frac{-x^2}{4}+32 } = frac{+- sqrt{128-x^2} }{2}$ .
Если стороны прямоугольника параллельны осям, то его стороны разбиваются осями пополам.Рассмотрим максимальную площадь в 1 четверти (в положительных значениях).
$S=x*y= frac{x sqrt{128-x^2} }{2} .$
Для определения максимума этой функции найдём её производную и приравняем нулю.
$y= frac{64-x^2}{ sqrt{128-x^2} } .$
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю.
64 - х² = 0
х = √64 = 8.
$y= frac{ sqrt{128-8^2} }{2} = frac{ sqrt{64} }{2} = frac{8}{2} =4.$
Ответ: стороны прямоугольника, вписанного в заданный эллипс. равны 16 и 8.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы