Вычислить неопределенные интегралы:
(во вложений)
Все задания с полным решением. Пожалуйста...

Вычислите неопределенные интегралы

a) $intlimits{x*arctg(2x)} , dx$

Интегрируем по частям

$intlimits {U(x)} , dV(x)=U(x)V(x)- intlimits{V(x)} , dU(x)$

$intlimits{x*arctg(2x)} , dx=begin{vmatrix}U=arctg(2x), ; dU=frac{2}{4x^2+1}dxdV=xdx; V=frac{x^2}{2} end{vmatrix} =$ $frac{x^2}{2}*arctg(2x)- intlimits{ frac{x^2}{4x^2+1} } , dx$

Находим второй интеграл отдельно

$intlimits{ frac{x^2}{4x^2+1} } , dx = frac{1}{4}intlimits{ frac{4x^2+1-1}{4x^2+1} } , dx=frac{1}{4}intlimits{(1-frac{1}{4x^2+1} }) , dx =$

$=frac{1}{4}intlimits{}dx-frac{1}{4}intlimits{frac{1}{4x^2+1} } , dx=frac{x}{4}-frac{1}{8}intlimits{frac{1}{(2x)^2+1} } , d(2x)=$

$=frac{x}{4}-frac{1}{8}*arctg(2x)+C$

Окончательно запишем

$intlimits{x*arctg(2x)} , dx =frac{x^2}{2}*arctg(2x)+frac{1}{8}arctg(2x)-frac{x}{4}+C$

б) $intlimits { frac{x+ln^2(x)}{x}} , dx= intlimits {(1+frac{ln^2(x)}{x})} , dx= intlimits{} , dx+intlimits {frac{ln^2(x)}{x}} , dx=x+intlimits {frac{ln^2(x)}{x}} , dx$

Второй интеграл найдем отдельно

$intlimits {frac{ln^2(x)}{x}} , dx =begin{vmatrix}u=ln(x)du=frac{1}{x}dxend{vmatrix}= intlimits{u^2} , du= frac{u^3}{3}+C= frac{ln^3(x)}{3}+C$

Таким образом получили

$intlimits { frac{x+ln^2(x)}{x}} , dx=x+ frac{1}{3}ln^3(x)+C$

в) $intlimits{ frac{ sqrt{x-2}}{1+ sqrt{x-2} } } , dx$

Используем замену переменных

$intlimits{ frac{ sqrt{x-2}}{1+ sqrt{x-2} } } , dx=begin{vmatrix}x-2=u^2dx=2uduend{vmatrix}=intlimits{ frac{ 2u^2}{1+ u } ,du= 2intlimits{(u-1+ frac{1}{u+1}) } , du=$

$=u^2-2u+ ln(u+1)+C= x-2+2 sqrt{x-2}+ln( sqrt{x-2}+1)+C$

г) $intlimits{ cosfrac{x}{ sqrt{2} }} , dx= sqrt{2} intlimits{ cosfrac{x}{ sqrt{2} }} , d( frac{x}{ sqrt{2} } ) =sqrt{2}*sinfrac{x}{ sqrt{2}} +C$