Помогите 66 пожалуйста!Буду вам очень благодарна

Возведём в квадрат выражение для медианы $m_c$ , проведённой к стороне $c ,$ предварительно умножив его на $2$ , и получим:

$( 2 m_c )^2 = 2 ( a^2 + b^2 ) - c^2$ ;

Используя теорему косинусов для исключения значения $c$ из искомого выражения, получим:

$( 2 m_c )^2 = 2 ( a^2 + b^2 ) - ( a^2 + b^2 - 2 ab cos{ gamma } )$ ;

$( 2 m_c )^2 = 2 a^2 + 2 b^2 - a^2 - b^2 + 2 ab cos{ gamma }$ ;

$( 2 m_c )^2 = a^2 + b^2 + 2 ab cos{ gamma }$ ;

$a^2 + [ 2b cos{ gamma } ] cdot a - [ ( 2 m_c )^2 - b^2 ] = 0$ ;

Итак, мы получили параметрическое приведённое квадратное уравнение (старший коэффициент равен единице) с чётным центральным линейным коэффициентом $q = 2 q_1 ,$ где $q_1 = b cos{ gamma }$ и свободным слагаемым $p = - [ ( 2 m_c )^2 - b^2 ]$ ;

Его решения выражаются, как:

$a_{1,2} = -q_1 pm sqrt{ D_{1P} } ,$ где $D_{1P} = q_1^2 - p ,$

где чётно-приведённый дискриминант $D_{1P}$ выражается, как:

$D_{1P} = ( b cos{ gamma } )^2 + ( 2 m_c )^2 - b^2 = b^2 ( cos^2{ gamma } - 1 + ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 ) = b^2 ( ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } )$

и: $sqrt{ D_{1P} } = b sqrt{ ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } }$ ;

В итоге:

$a_{1,2} = -b cos{ gamma } pm b sqrt{ ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } } = b ( pm sqrt{ ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } } - cos{ gamma } )$ ;

На первый взгляд, может обманчиво (!) показаться, что при использовании перед корнем из дискриминанта знака «минус», решение в целом будет отрицательным, а стало быть, нужно брать только одно решение со знаком «плюс» перед корнем из дискриминанта. НО ЭТО НЕ ТАК! Если угол $gamma$ – тупой, то $cos{ gamma } < 0$ и слагаемое $[ -cos{ gamma } ] > 0$ , так что если это слагаемое по модулю будет больше корня из дискриминанта, то оба решения будут положительными и значит при заданных медиане $m_c ,$ стороне $b$ и значения угла $gamma$ – будут возможны два варианта стороны $a$ и соответственно два несколько различных треугольника!

Чтобы понять, когда второй корень будет тоже положительным, потребуем:

$a_2 = b ( -sqrt{ ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } } - cos{ gamma } ) > 0$ ;

$-sqrt{ ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } } - cos{ gamma } > 0$ ;

$sqrt{ ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } } < - cos{ gamma } > 0 ,$ при $gamma in ( 90^o ; 180^o)$ ;

$( sqrt{ ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } } )^2 < ( - cos{ gamma } )^2$ ;

$( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } < cos^2{ gamma }$ ;

$( frac{ 2 m_c }{b} )^2 < sin^2{ gamma } + cos^2{ gamma }$ ;

$( frac{ 2 m_c }{b} )^2 < 1 ,$ поскольку: $m_c > 0$ и $b > 0 ,$ то:

$frac{ 2 m_c }{b} < 1$ ;

$2 m_c < b$ ;

$m_c < frac{b}{2}$ – именно при таком условии, в случае, когда угол $gamma$ – тупой, имеется два различных решения для $a$ и два различных треугольника.

О т в е т :

Если угол $gamma$ – тупой, и медиана $m_c < frac{b}{2} ,$ то существует два различных треугольника со сторонами:

$a_{1,2} = b ( | cos{ gamma } | pm sqrt{ ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } } )$ ;

Иначе, если угол $gamma$ – острый или прямой, или если медиана $m_c geq frac{b}{2} ,$ то решение единственно:

$a = b ( sqrt{ ( frac{ 2 m_c }{b} )^2 - sin^2{ gamma } } - cos{ gamma } ) .$