В треугольнике ABC точка M лежит на стороне AC, а точка L на стороне BC расположена так, что BL : LC = 2 : 5. Прямая, проходящая через точку L параллельно стороне AB, пересекает отрезок BM в точке O, причем BO : OM=7 : 4. Найдите отношение, в котором точка M делит сторону AC, считая от точки C.

Задачу можно решить двумя способами:
1) посредством формул, аксиом и теорем планиметрии, изучаемых в стандартной школьной программе;
2) и через привлечение теоремы Менелая.
Решим её обоими способами:

[[[ 1 ]]] с п о с о б

Обозначим длины сторон треугольника $Delta ABC$ как:

$AB = c$ ;
$BC = a$ ;
и $AC = b$ ;

Тогда: $BL = frac{2}{7} a$ ;

Обозначим $MC = xb ,$ где $x$ – некоторое число,

такое, что: $0 < x < 1$ ;

Найдя это число $x ,$ мы найдём и пропорцию, в которой $BM$ делит сторону $AC$ ;

Проведём прямую $LQ || AC ,$ тогда по трём углам: $Delta QBL sim Delta MBC ,$

а значит: $frac{QL}{MC} = frac{BL}{BC}$ и $frac{BQ}{BM} = frac{BL}{BC}$ ;

$QL = frac{ frac{2}{7} a }{a} MC$ и $BQ = frac{ frac{2}{7} a }{a} BM$ ;

[1] $QL = frac{2}{7} xb$ и $BQ = frac{2}{7} BM$ ;

Поскольку $BO = frac{7}{7+4} BM = frac{7}{11} BM ,$ то:

$QO = BO - BQ = frac{7}{11} BM - frac{2}{7} BM = ( frac{49}{77} - frac{22}{77} ) BM$ ;

$QO = frac{27}{77} BM$ ;

По трём углам: $Delta OQL sim Delta OMK ,$ а значит:

$frac{MK}{QL} = frac{MO}{QO}$ и $MK = frac{MO}{QO} QL$ ;

Поскольку $MO = frac{4}{7+4} BM = frac{4}{11} BM$ и по [1] $QL = frac{2}{7} xb ,$ то:

$MK = frac{MO}{QO} QL = frac{ frac{4}{11} BM }{ frac{27}{77} BM } frac{2}{7} xb = frac{4}{11} cdot frac{77}{27} cdot frac{2}{7} xb = frac{4}{1} cdot frac{1}{27} cdot frac{2}{1} xb$ ;

$MK = frac{8}{27} xb$ ;

По теореме Фалеса, об отсечении параллельными прямыми внутри угла пропорциональных отрезков, получается, что:

$KC = frac{5}{7} b$ ;

Тогда получаем уравнение:

$KC = KM + MC$ ;

$frac{5}{7} b = frac{8}{27} xb + xb$ ;

$frac{5}{7} = ( 1 + frac{8}{27} ) x$ ;

$frac{5}{7} = frac{35}{27} x$ ;

$x = frac{5}{7} : frac{35}{27} = frac{5}{7} cdot frac{27}{35} = frac{1}{7} cdot frac{27}{7}$ ;

$x = frac{27}{49}$ ;

Значит $MC = frac{27}{49} AC$ и $AM = frac{22}{49} AC ,$ откуда ясно, что отношение, в котором точка $M$ делит сторону $AC ,$ считая от точки $C ,$ будет:

$CM : MA = frac{27}{49} AC : frac{22}{49} AC$ ;

$CM : MA = 27 : 22 .$

[[[ 2 ]]] с п о с о б

Применим теорему Менелая

в треугольнике $Delta BCM$ с секущей $KL$ :

$frac{BL}{LC} cdot frac{CK}{KM} cdot frac{MO}{OB} = 1$ ;

$frac{2}{5} cdot frac{ frac{5}{7} b }{KM} cdot frac{4}{7} = 1$ ;

$frac{5}{7} b : KM = frac{35}{8}$ ;

$frac{5}{7} b : frac{35}{8} = KM$ ;

$KM = frac{5}{7} cdot frac{8}{35} b = frac{1}{7} cdot frac{8}{7} b$ ;

$KM = frac{8}{49} b$ ;

Отсюда: $AM = AK + KM = frac{2}{7} b + frac{8}{49} b = ( frac{14}{49} + frac{8}{49} ) b$ ;

$AM = frac{22}{49} b$ ;

Значит $MC = frac{27}{49} AC ,$ откуда ясно, что отношение, в котором точка $M$ делит сторону $AC ,$ считая от точки $C ,$ будет:

$CM : MA = frac{27}{49} AC : frac{22}{49} AC$ ;

$CM : MA = 27 : 22 .$

О т в е т : $CM : MA = 27 : 22 .$