Все боковые грани правильной треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти обьём пирамиды, если сторона сонования равна 12 см.

Опускаем высоту пирамиды (т.к. все грани наклонены под одним углом к плоскости основания, то она упадёт в центр треугольника О). Основание - правильный треугольник со стороной 12, поэтому медина АН (которая совпадает с высотой и поэтому просчитывается через теорему Пифагора) равна $6sqrt3$ . Основанием высоты пирамиды О АН делится в отношении 2:1 (центр правильного треугольника), поэтому ОН= $2sqrt3$ . Если вершина пирамиды S, то SO лежит в прямоугольном треугольнике SOH против угла в 60 градусов, а ОН= $2sqrt3$ , т.е. tg60=SO/OH, SO=OH*tg60= $2sqrt3*sqrt3=6$ . Площадь основания равна $S=12*sqrt3/4=3sqrt3$ (площадь правильного треугольника). Объём равен