В зависимости от a определить количество корней уравнения:
x^3+6x^2-15x+3a=0

Может это можно сделать и проще, но вот как бы поступил я: определить экстремумы, типы экстремумов и соответственно начертить график.
Let $f(a, x) = x^{3}+6x^{2}-15x+3a$
$frac{d}{dx}f(a,x) = 3x^{2}+12x-15$
$frac{d}{dx}f(a,x) = 0 <=> x^{2}+4x-5=0 <=> left[^{x=1}_{x=-5}$
$f(a,1) = 3a-8$
$f(a,-5) = 3a-50$
$frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a,x) = 6x + 12$
$frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a,1) = 18$
$frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a,-5) = -18$
Тогда x=1 - Минимум, а x=-5 - Максимум
Есть три варианта: либо 1 корень, либо 2, либо 3:
1 корень означает, что интервал [3a-50, 3a-8] не содержит 0, то есть
$a in (-infty, frac{8}{3}) cup (frac{50}{3}, infty)$
2 корня:
$a in {frac{8}{3}} cup {frac{50}{3}}$
3 корня:
$a in (frac{8}{3}, frac{50}{3})$