Найти пределы функций:
1) $lim_{x to infty} sqrt[3]{ frac{3x+8 x^{2} -1}{27 x^{2} +10} }$
2) $lim_{x to 00} frac{3 x^{2} }{1-cos8x}$
3) $lim_{x to infty} ( frac{x+2}{x-5} ) ^{8x}$

1) $lim_{x to infty} sqrt[3]{ frac{3x+8 x^{2} -1}{27 x^{2} +10} }$

По свойству пределов, мы можем вынести корень кубический за предел и возвести в него уже результат, получаем:
$sqrt[3]{lim_{x to infty} frac{3x+8 x^{2} -1}{27 x^{2} +10} }$

Внутри у нас получилась неопределенность вида $frac{ infty}{ infty}$ , значение которой равно отношению коэффициентов перед аргументами со старшими степенями (где у нас х в квадрате), таким образом ответ:
$sqrt[3]{ frac{8}{27} } = frac{2}{3}$

2) $lim_{x to 0} frac{3 x^{2} }{1-cos8x}$

Получилась неопределенность вида $frac{0}{0}$ , значит мы можем найти значение предела по теореме Лопиталя (взять производные от числителя и знаменателя):
$frac{(3 x^{2}) }{(1-cos8x)} = frac{6x}{-8sin8x}$

Таким образом переходим к пределу:
$lim_{x to 0} frac{6x}{-8sin8x} =0$

3) $lim_{x to infty} ( frac{x+2}{x-5} )^{8x} = e^{56}$