Найдите две последние цифры числа 1+9^78

Далее, везде в преобразованиях $N_1, N_2, N_3, ... , N_i$ – какие-то числа, кратные ста, т.е. $800, 7100, 62400, ...$ и т.п.

Способ [[[ 1 ]]]

$9^{78} = (9^2)^{39} = 81^{39} = 81 cdot 81^{38} = 81 cdot (81^2)^{19} = 81 cdot ((80+1)^2)^{19} =$

$= 81 cdot (8^2 cdot 100 + 2 cdot 80 + 1)^{19} = 81 cdot (N_1 + 61)^{19} = 81 cdot (N_1 + 61) cdot ((N_1 + 61)^2)^9 =$

$= (N_1 cdot 81 + 81 cdot 61) cdot (N_1^2 + 2 cdot N_1 cdot 61 + 61^2)^9 =$

$= (N_2 + 81 cdot 61) cdot (N_3 + 60^2 + 2 cdot 60 + 1)^9 = (N_2 + 81 cdot 61) cdot (N_4 + 21)^9 =$

$= (N_2 + 81 cdot 61) cdot (N_4 + 21) cdot ((N_4 + 21)^2)^4 = (N_5 + 81 cdot 61 cdot 21) cdot (N_4^2 + 2 cdot N_4 cdot 21 + 21^2)^4 =$

$= (N_5 + 81 cdot 61 cdot 21) cdot (N_6 + 41)^4 = (N_5 + 81 cdot 61 cdot 21) cdot ((N_6 + 41)^2)^2 =$

$= (N_5 + 81 cdot 61 cdot 21) cdot (N_6^2 + 2 cdot N_6 cdot 41 + 41^2)^2 =$

$= (N_5 + 81 cdot 61 cdot 21) cdot (N_7 + 40^2 + 2 cdot 40 + 1)^2 = (N_5 + 81 cdot 61 cdot 21) cdot (N_8 + 81)^2 =$

$= (N_5 + 81 cdot 61 cdot 21) cdot (N_8^2 + 2 cdot N_8 cdot 81 + 81^2) = (N_5 + 81 cdot 61 cdot 21) cdot (N_9 + 80^2 + 2 cdot 80 + 1) =$

$= (N_5 + 81 cdot 61 cdot 21) cdot (N_{10} + 61) = N_{11} + 81 cdot 21 cdot 61^2 = N_{11} + ( 80 + 1 ) ( 20 + 1 ) ( 60 + 1 )^2 =$

$= N_{11} + ( 80 cdot 20 + 80 + 20 + 1 ) ( 60^2 + 2 cdot 60 + 1 ) =$

$= N_{11} + ( N_{12} + 1 ) ( N_{13} + 21 ) = N_{11} + N_{14} + 21 = N_{15} + 21$ ;

$1 + 9^{78} = 1 + N_{15} + 21 = N_{15} + 22$ ;

О т в е т : две последние цифры $22 .$

Способ [[[2]]]

1-ое действие: $9^2 = 81$ ;

2-ое действие: $9^4 = (9^2)^2 = 81^2 = 80^2 + 2 cdot 80 + 1 = N_1 + 61$ ;

3-е действие: $9^8 = (9^4)^2 = ( N_1 + 61 )^2 = N_1^2 + 2 cdot N_1 cdot 61 + 61^2 =$

$= N_2^2 + 60^2 + 2 cdot 60 + 1 = N_3 + 21$ ;

4-ое действие: $9^9 = 9^8 cdot 9 = ( N_3 + 21 ) cdot 9 = N_3 cdot 9 + 189 = N_4 + 89$ ;

5-ое действие: $9^{18} = (9^9)^2 = ( N_4 + 89 )^2 = N_4^2 + 2 cdot N_4 cdot 89 + 89^2 =$

$= N_5 + 80^2 + 2 cdot 80 cdot 9 + 81 = N_6 + 21$ ;

6-ое действие: $9^{19} = 9^{18} cdot 9 = ( N_6 + 21 ) cdot 9 = N_6 cdot 9 + 189 = N_7 + 89$ ;

7-ое действие: $9^{38} = (9^{19})^2 = ( N_7 + 89 )^2 = N_7^2 + 2 cdot N_7 cdot 89 + 89^2 =$

$= N_8 + 80^2 + 2 cdot 80 cdot 9 + 81 = N_9 + 21$ ;

8-ое действие: $9^{39} = 9^{38} cdot 9 = ( N_9 + 21 ) cdot 9 = N_9 cdot 9 + 189 = N_{10} + 89$ ;

9-ое действие: $9^{78} = (9^{39})^2 = ( N_{10} + 89 )^2 = N_{10}^2 + 2 cdot N_{10} cdot 89 + 89^2 =$

$= N_{11} + 80^2 + 2 cdot 80 cdot 9 + 81 = N_{12} + 21$ ;

10-ое действие: $1 + 9^{78} = 1 + N_{12} + 21 = N_{12} + 22$ ;

О т в е т : две последние цифры $22 .$

Способ [[[ 3 ]]]

$1 + 9^{78} = ( 1 + 9^{26} ) ( 1 - 9^{26} + 9^{52} )$ ;

1-ое действие: $9^2 = 81$ ;

2-ое действие: $9^4 = (9^2)^2 = 81^2 = 80^2 + 2 cdot 80 + 1 = N_1 + 61$ ;

3-е действие: $9^6 = 9^2 9^4 = ( N_1 + 61 ) 81 = N_2 + 61 cdot 81 =$

$= N_2 + 60 cdot 80 + 60 + 80 + 1 = N_3 + 41$ ;

4-ое действие: $9^{12} = (9^6)^2 = ( N_3 + 41 )^2 = N_3^2 + 2 cdot N_3 cdot 41 + 41^2 =$

$= N_4 + 40^2 + 2 cdot 40 + 1 = N_5 + 81$ ;

5-ое действие: $9^{13} = 9^{12} 9 = ( N_5 + 81 ) 9 = N_5 cdot 9 + 81 cdot 9 = N_6 + 29$ ;

6-ое действие:

$9^{26} = (9^{13})^2 = ( N_6 + 29 )^2 = N_6^2 + 2 cdot N_6 cdot 29 + 29^2 = N_7 + 841 = N_8 + 41$ ;

7-ое действие: $9^{52} = (9^{26})^2 = ( N_8 + 41 )^2 = N_8^2 + 2 cdot N_8 cdot 41 + 41^2 =$

$= N_9 + 40^2 + 2 cdot 40 + 1 = N_{10} + 81$ ;

8-ое действие: $1 + 9^{78} = ( 1 + 9^{26} ) ( 1 - 9^{26} + 9^{52} ) =$

$= ( 1 + N_8 + 41 ) ( 1 - N_8 - 41 + N_{10} + 81 ) = ( N_{11} + 42 ) ( N_{12} + 41 ) =$

$= N_{11} cdot N_{12} + 42 cdot N_{12} + 41 cdot N_{11} + ( 40 + 1 ) ( 40 + 2 ) =$

$= N_{13} + 40^2 + 40 cdot 2 + 40 + 2 = N_{14} + 22$ ;

О т в е т : две последние цифры $22 .$