Решите пожалуйста (((

[[[ 1 ]]]

$f(x) = 3x - x^3$ ;

О б л а с т ь . о п р е д е л е н и я . ф у н к ц и и

$D(f(x)) = R ,$ поскольку никаких действий, накладывающих ограничения нет.

$E(f(x)) = R ,$
поскольку при $x to -infty ,$ функция $f(x) to +infty ,$
а при $x to +infty ,$ функция $f(x) to -infty .$

Н е п р е р ы в н о с т ь . ф у н к ц и и . и . е ё . н е ч ё т н о с т ь

$f(-x) = 3(-x) - (-x)^3 = -3x + x^3 = - ( 3x - x^3 ) = -f(x)$ ;

функция нечётна и она не имеет критических точек, т.е. везде однозначно определена, а значит, везде непрерывна.

П е р е с е ч е н и е . с . о с я м и . к о о р д и н а т

Точек разрыва нет.

$f(0) = 0$ ;

$f(x) = 0 ; Rightarrow x ( 3 - x^2 ) = 0 ; Rightarrow x in { pmsqrt{3} , 0 }$ ;

Пересечение с осями координат $( x ; y ) in { ( pmsqrt{3} ; 0 ) , ( 0 ; 0 ) }$ ;

А с и м п т о т ы

Поскольку при $x to -infty ,$ функция $f(x) to +infty ,$
а при $x to +infty ,$ функция $f(x) to -infty ,$

то горизонтальных асимптот нет.

Нет и вертикальных асимптот, поскольку нет критических точек.

Производная $f_x (x) = 3 - 3x^2$ при $x to infty ,$ тоже $f_x (x) to infty ,$
а поэтому нет и наклонных асимптот.

В о з р а с т а н и е , у б ы в а н и е , э к с т р е м у м ы . ф у н к ц и и

Производная $f_x (x) = 3 - 3x^2 = -3 ( x^2 - 1 ) = -3 ( x + 1 ) ( x - 1 )$ ;

при $x < -1 ; Rightarrow f_x (x) < 0 ; Rightarrow f(x)$ – убывает ;
при $-1 < x < 1 ; Rightarrow f_x (x) > 0 ; Rightarrow f(x)$ – возрастает ;
при $x > 1 ; Rightarrow f_x (x) < 0 ; Rightarrow f(x)$ – убывает ;

при $x = -1 ; Rightarrow f_x (x) = 0 ; Rightarrow f(x)$ – имеет локальный мин. $f(-1) = -2$ ;
при $x = 1 ; Rightarrow f_x (x) = 0 ; Rightarrow f(x)$ – имеет локальный макс. $f(1) = 2$ ;

В ы п у к л о с т ь , в о г н у т о с т ь . и . п е р е г и б ы . г р а ф и к а

Вторая производная $f_x (x) = -6x$ ;

при $x < 0 ; Rightarrow f_x (x) > 0 ; Rightarrow f(x)$ – вогнута ;
при $x > 0 ; Rightarrow f_x (x) < 0 ; Rightarrow f(x)$ – выпукла ;

График на изображении [1]

[[[ 2 ]]]

$f(x) = 4x^2 - x^4$ ;

О б л а с т ь . о п р е д е л е н и я . ф у н к ц и и

$D(f(x)) = R ,$ поскольку никаких действий, накладывающих ограничения нет.

Н е п р е р ы в н о с т ь . ф у н к ц и и . и . е ё . ч е т н о с т ь

$f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x)$ ;

функция чётна и она не имеет критических точек, т.е. везде однозначно определена, а значит, везде непрерывна.

П е р е с е ч е н и е . с . о с я м и . к о о р д и н а т

Точек разрыва нет.

$f(0) = 0$ ;

$f(x) = 0 ; Rightarrow x^2 ( 4 - x^2 ) = 0 ; Rightarrow x in { pm2 , 0 }$ ;

Пересечение с осями координат $( x ; y ) in { ( pm2 ; 0 ) , ( 0 ; 0 ) }$ ;

А с и м п т о т ы

Поскольку при $x to pminfty ,$ функция $f(x) to -infty ,$

то горизонтальных асимптот нет.

Нет и вертикальных асимптот, поскольку нет критических точек.

Производная $f_x (x) = 8x - 4x^3$ при $x to pminfty ; Rightarrow f_x (x) to mpinfty ,$
а поэтому нет и наклонных асимптот.

В о з р а с т а н и е , у б ы в а н и е . ф у н к ц и и

Производная $f_x (x) = 8x - 4x^3 = -4x ( x^2 - 2 ) = -4x ( x + sqrt{2} ) ( x - sqrt{2} )$ ;

при $x < -sqrt{2} ; Rightarrow f_x (x) > 0 ; Rightarrow f(x)$ – возрастает ;
при $-sqrt{2} < x < 0 ; Rightarrow f_x (x) < 0 ; Rightarrow f(x)$ – убывает ;
при $0 < x < sqrt{2} ; Rightarrow f_x (x) > 0 ; Rightarrow f(x)$ – возрастает ;
при $x > sqrt{2} ; Rightarrow f_x (x) < 0 ; Rightarrow f(x)$ – убывает ;

при $x = -sqrt{2} ; Rightarrow f_x (x) = 0 ; Rightarrow f(x)$ – имеет локальн. макс. $f(-sqrt{2}) = 4$ ;
при $x = 0 ; Rightarrow f_x (x) = 0 ; Rightarrow f(x)$ – имеет локальный мин. $f(0) = 0$ ;
при $x = sqrt{2} ; Rightarrow f_x (x) = 0 ; Rightarrow f(x)$ – имеет локальный макс. $f(sqrt{2}) = 4$ ;

$E(f(x)) equiv ( infty ; 4 ]$ ;

. . . продолжение на изображении 0 . . >>>