Дано А(-2;0) ,B(1;3) , C(-1; 2). Проверить могут ли они являться вершинами треугольника? Если да,то найти S -площадь этого треугольника , высоту CH и ее уравнение?

Найдем длины сторон АВ, АС и ВС:
$AB= sqrt{(1-(-2))^2+(3-0)^2} = sqrt{9+9} =3 sqrt{2} AC= sqrt{(-1-(-2))^2+(2-0)^2} = sqrt{1+4} = sqrt{5} BC= sqrt{(-1-1)^2+(2-3)^2} = sqrt{4+1} = sqrt{5}$
Для сторон АС и ВС очевидно выполняется неравенство треугольника. Убедимся, что оно выполняется и для стороны АВ:
$3 sqrt{2} textless sqrt{5} + sqrt{5} 3 sqrt{2} textless 2sqrt{5} sqrt{18} textless 2sqrt{20}$
Значит, треугольник АВС существует.

Площадь треугольника найдем как половина модуля векторного произведения векторов АВ и АС (или сначала найти уравнение и длину высоты СН, а затем найти площадь как полупроизведение основания на высоту):
$vec{AB}={1-(-2); 3-0}={3; 3}={3; 3; 0} vec{AC}={-1-(-2); 2-0}={1; 2}={1; 2; 0}$
$S= frac{1}{2}| [vec{AB} vec{AC}}]| [vec{AB} vec{AC}}]= left|begin{array}{ccc}vec{i}&vec{j}&vec{k}3&3&01&2&0end{array}right|= =vec{i}cdot3cdot0+vec{j}cdot0cdot1+vec{k}cdot3cdot2-vec{k}cdot1cdot3-vec{j}cdot3cdot0-vec{i}cdot0=0vec{i}+0vec{j}+3vec{k} S=frac{1}{2}| sqrt{0^2+0^2+3^2} |= frac{3}{2}$

С другой стороны площадь треугольника можно найти как половина произведения стороны АВ на проведенную к ней высоту СН:
$frac{ABcdot CH}{2} = frac{3}{2} 3 sqrt{2} cdot CH = 3 CH= frac{1}{ sqrt{2}}$

Для определения уравнения высоты СН составим уравнения перпендикулярной стороны АВ:
$frac{x-x_1}{x_2-x_1} = frac{y-y_1}{y_2-y_1} frac{x-(-2)}{1-(-2)} = frac{y-0}{3-0} frac{x+2}{1+2} = frac{y}{3} y= x+2$

Угловой коэффициент прямой СН является обратным и противоположным по отношению к соответствующему коэффициенту прямой АВ:
$k_0=- frac{1}{1} =-1$

Составляем уравнение прямой, проходящей через заданную точку С с заданным угловым коэффициентом -1:
$y-y_0=k(x-x_0) y-2=-(x-(-1)) y-2=-x-1 y=1-x$