Найдите катеты a и b прямоугольного треугольника с гипотенузой c и острым углом a если известно что с=7

Поскольку неизвестных два: $a$ и $b ,$ а уравнение всего одно: $a^2 + b^2 = 7^2 ,$ то решений может быть бесконечно много.

Так как никаких иных условий не поставлено, попробуем найти хотя бы одно частное решение данного задания с целыми катетами, а если не получится, то с рациональными катетами.

Пусть $a in { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }$

Тогда $b^2 = 49 - a^2 ,$ а значит: $b^2 in { 13, 24, 33, 40, 45, 48 } .$

Ни одно из значений $b^2$ – не является квадратом натурального числа, а значит, целых решений нет.

Для того чтобы найти рациональное решение, можно взять любой известный египетский треугольник. Например, со сторонами $3, 4$ и $5$ и рассчитать катеты из подобия гипотенузы $5$ этого треугольника и нашего исходного треугольника с гипотенузой $7 .$ Ясно, что наш треугольник больше и относится к упомянутому египетскому, как $7 : 5 ,$ т.е. больше него в $1.4$ раза, соответственно и катеты больше в $1.4$ раза, т.е. вместо катетов $3$ и $4$ исходного египетского нужно брать катеты $3 cdot 1.4 = 4.2$ и $4 cdot 1.4 = 5.6 .$

Итак, в качестве частного решения мы нашли треугольник с катетами: $a = 4.2$ и $b = 5.6 .$

*** проверка:

$40^2 = 1600$ ;
$41^2 = 40^2 + 40 + 41 = 1681$ ;
$42^2 = 41^2 + 41 + 42 = 1764$ ;
$4.2^2 = 17.64$ ;

$55^2 = (5+6) cdot 100 + 5^2 = 3025$ ;
$56^2 = 55^2 + 55 + 56 = 3136$ ;
$5.6^2 = 31.36$ ;

$4.2^2 + 5.6^2 = 17.64 + 31.36 = 49 = 7^2 .$

Можно взять и другой известный египетский треугольник. Например, со сторонами $7, 24$ и $25$ и рассчитать катеты из подобия гипотенузы $25$ этого треугольника и нашего исходного треугольника с гипотенузой $7 .$ Ясно, что наш треугольник меньше и относится к упомянутому египетскому, как $7 : 25 ,$ т.е. составляет от него часть: $frac{7}{25} = frac{28}{100} = 0.28 .$ Соответственно и катеты меньше, т.е. вместо катетов $7$ и $24$ исходного египетского нужно брать катеты $7 cdot 0.28 = 1.96$ и $24 cdot 0.28 = 6.72 .$

Итак, в качестве другого частного решения мы нашли треугольник с катетами: $a = 1.96$ и $b = 6.72 .$

Можно взять и ещё какой-нибудь известный египетский треугольник. Например, со сторонами $5, 12$ и $13$ и рассчитать катеты из подобия гипотенузы $13$ этого треугольника и нашего исходного треугольника с гипотенузой $7 .$ Ясно, что наш треугольник меньше и относится к упомянутому египетскому, как $7 : 13 ,$ т.е. составляет от него часть: $frac{7}{13} .$ Соответственно и катеты меньше, т.е. вместо катетов $5$ и $12$ исходного египетского нужно брать катеты $5 cdot frac{7}{13} = frac{35}{13} = 2 frac{9}{13}$ и $12 cdot frac{7}{13} = frac{84}{13} = 6 frac{6}{13} .$

Итак, ещё одно частное решение: мы нашли треугольник с катетами: $a = 2 frac{9}{13}$ и $b = 6 frac{6}{13} .$

Ну и вообще можно брать любые треугольники с катетами $a$ и $b = sqrt{ 49 - a^2 }$

О т в е т :

Три рациональных частных решения:

$a = 4.2$ и $b = 5.6$ ;
$a = 1.96$ и $b = 6.72$ ;
$a = 2 frac{9}{13}$ и $b = 6 frac{6}{13} ,$ кроме которых существует бесконечное число аналогичных рациональных решений.

Общее решение:

$a in (0;7)$ и $b = sqrt{ 49 - a^2 } .$