Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли заданная числовая последовательность бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной числовой последовательностью.
((7n+3)/(7n+2))^(3n-4)

Можно найти несколько пределов данной числовой последовательности. Для этого нужно посмотреть, что произойдет с ней при стремлении к бесконечности с разными знаками, и в "опасных" точках.

"Опасные" точки сразу видны, это:
1) $n=- frac{2}{7}$ - знаменатель обращается в 0.
2) $n=0$ - по обычаю проверяется эта точка.

Эта числовая последовательность может быть сведена ко второму замечательному пределу для нахождения пределов:
$lim (1+ frac{1}{x})^x=e$ (при $x$ →∞)

Выделяем целую часть в дроби:

$frac{7n+3}{7n+2 } = 1 + frac{1}{7n+2 }$

Используем свойство 2-го замечательного предела, но добавляем степени:

$lim (1 + frac{1}{7n+2 })^{3n-4}$

$lim (((1 + frac{1}{7n+2 })^{7n+2})^{ frac{1}{7n+2}})^{3n-4} = e^{frac{1}{7n+2} * 3n-4}$ (при $n$ →∞)

То есть мы степень не меняли: домножили и разделили.

Посчитаем, что получилось:

$e^{frac{1}{7n+2} * 3n-4} = e^{ frac{3n-4}{7n+2}} = e^{ frac{n*(3-frac{4}{n}) }{n*(7+frac{2}{n})} } = e^{ frac{3}{7} }$ (при $n$ →∞)

Итак:
1) $n$ →+∞ предел равен $e^{ frac{3}{7} }$
2) $n$ →-∞ предел равен $e^{ frac{3}{7} }$

3) $n$ →0 предел равен:
$lim ( frac{7n+3}{7n+2})^{3n-4} = (frac{3}{2})^{-4} = (frac{2}{3})^{4} = frac{16}{81}$

4) $n$ → $- frac{2}{7}$
По правило Лопиталя имеем: 0 (не расписывал, поскольку это очень много и неважно в данном случае, нас это не интересует).

Мы видим, что при стремлении к бесконечности с разными знаками, мы имеем конечное число. В "опасных" точках, скачков нет.

Используя свойства показательной функции, находим, что график делает скачок в некотором интервале (основание должно быть неотрицательным числом, если же взять число из интервала $- frac{3}{7} leq x leq - frac{2}{7}$ - мы получаем отрицательное основание).

Можно говорить, что данная числовая последовательность является неограниченной (из-за этого интервала).

Если же этого не учитывать, то данная числовая последовательность является ограниченной (это очень грубо).