Высшая математика. Интегралы и производные

№2

а) $f_x (x) = 9 ( frac{x}{|x|} ( 1 + x^{-2} )^{ -frac{1}{2} } )_x = 9 frac{x}{|x|} x^{-3} ( 1 + x^{-2} )^{ -frac{3}{2} } =$

$= frac{9}{x^2|x|( 1 + frac{1}{x^2} )^{ frac{3}{2} } } = frac{9}{ sqrt{ ( x^2 + 1 )^3 } }$ ;

$f_x ( 2 sqrt{2} ) = frac{9}{ sqrt{ ( ( 2 sqrt{2} )^2 + 1 )^3 } } = frac{9}{ sqrt{ ( 8 + 1 )^3 } } = frac{9}{ sqrt{ 3^{ 2 cdot 3 } } } = frac{3^2}{3^3} = frac{1}{3}$ ;

б) $f_x (x) = ( cos{2x} + frac{ 2 cos{2x} cdot sin{2x} }{2} )_x = - 2 sin{2x} + ( frac{ sin{4x} }{2} )_x =$

$= - 2 sin{2x} + 2 cos{4x} = 2 ( cos{4x} - sin{2x} )$ ;

$f_x ( frac{pi}{8} ) = 2 ( cos{ ( 4 cdot frac{pi}{8} ) } - sin{ ( 2 cdot frac{pi}{8} ) } ) = 2 ( cos{ frac{pi}{2} } - sin{ frac{pi}{4} } ) = 2 ( 0 - frac{ sqrt{2} }{2} ) = -sqrt{2}$ ;

О т в е т :

a) $f_x ( 2 sqrt{2} ) = frac{1}{3}$ ;

б) $f_x ( frac{pi}{8} ) = -sqrt{2} .$

№4 $y^2 dx = e^x dy$ ;

$e^{-x} dx = y^{-2} dy$ ;

$intlimits{ e^{-x} } , dx = intlimits{ y^{-2} } , dy$ ;

$-intlimits{ e^{-x} } , d(-x) = frac{1}{-2+1} y^{-2+1} + C$ ;

$e^{-x} = y^{-1} + C$ ;

$frac{1}{e^x} = frac{1}{y} + C$ ;

Подставим частные значения: $(x;y) = (0;1)$ :

$frac{1}{e^0} = frac{1}{1} + C$ ;

$1 = 1 + C$ ;

$C = 0$ ;

Тогда: $frac{1}{e^x} = frac{1}{y} + 0$ ;

$frac{1}{e^x} = frac{1}{y}$ ;

О т в е т : $y = e^x .$

№7 странная задача.

Вычислим для начала точное значение:

$intlimits^5_0 { ( 3 x^2 + 2 ) } , dx = ( x ( x^2 + 2 ) ) |^5_0 = 5 ( 5^2 + 2 ) - 0 ( 0^2 + 0 ) =$

$= 5 ( 25 + 2 ) = 5 cdot 27 = 135$ ;

Теперь приблизительное:

$intlimits^5_0 { ( 3 x^2 + 2 ) } , dx approx Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 ( k h - frac{h}{2} )^2 + 2 ) h ) =$

$= Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 h^2 ( k - frac{1}{2} )^2 + 2 ) h ) = 3 h^3 Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( k - frac{1}{2} )^2 + Sigmalimits^{k=10}_{k=1} 2h =$

$= 3 h^3 Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( k^2 - k + frac{1}{4} ) + 2h cdot 10 =$

$= 3 h^3 ( Sigmalimits^{k=10}_{k=1} k^2 - Sigmalimits^{k=10}_{k=1} k + Sigmalimits^{k=10}_{k=1} (frac{1}{4} ) ) + 20h$ ;

$Sigmalimits^{k=n}_{k=1} k = frac{n(n+1)}{2}$ ;

$Sigmalimits^{k=n}_{k=1} k^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ;

$intlimits^5_0 { 3 x^2 + 2 } , dx approx 3 h^3 ( frac{10(10+1)(2 cdot 10+1)}{6} - frac{10(10+1)}{2} + frac{10}{4} ) + 20h =$

$= 3 h^3 ( frac{ 5 cdot 11 cdot 21 }{3} - 5 cdot 11 + 2.5 ) + 20h =$

$= 3 h^3 ( 5 cdot 11 cdot 7 - 5 cdot 11 + 2.5 ) + 20h = 3 h^3 ( 5 cdot 11 ( 7 - 1 ) + 2.5 ) + 20h =$

$= 3 h^3 ( 5 cdot 11 cdot 6 + 2.5 ) + 20h = 3 h^3 ( 330 + 2.5 ) + 20h =$

$= 3 cdot 332.5 h^3 + 20h = 997.5 h^3 + 20h = h ( 997.5 h^2 + 20 ) =$

$= 0.5 ( 997.5 cdot 0.5^2 + 20 ) = 0.5 ( 249.375 + 20 ) = 0.5 cdot 269.375 = 134.6875$ ;

О т в е т :

$intlimits^5_0 { 3 x^2 + 2 } , dx = 135$ ;

При подсчёте этого интеграла численно
с шагом $h = 0.5 ,$ с значениями функции
в равноудалённых от краёв шага точках, получим:

$intlimits^5_0 { 3 x^2 + 2 } , dx approx Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 ( k h - frac{h}{2} )^2 + 2 ) h ) = 134.6875 .$