Опубликовано 13.06.2017 по предмету Математика от Гость >> <<

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: двугранный угол при боковом ребре пирамиды

Ответ оставил Гость

Обозначимпирамиду АВСД, основание АВС, высота ДО.
Проведём секущую плоскость через основаниевысоты О параллельно сторонеоснования АС перпендикулярно кбоковому ребру ДВ.
В сечении получим равнобедренный треугольникРМЕ.
Основание РЕ из подобия треугольников АВС и РВЕ равно (2/3)а, так как точка О делитвысоту основания в отношении 1:2.
Его половина РО = (2/6)а = а/3.
Высота треугольника РМС равна:ОМ = ОВ*sin OBД.
ОВ = (2/3)*а(√3/2)= а√3/3.
sin OBД = ДО/ДВ = H / ДB.
ДB = √(H² + ((2/3)a*(√3/2))²) = √(H² +(a²/3)).
sin OBД = H / √(H² + (a²/3)).
Получаемзначение высоты ОМ:ОМ = (а√3/3)*( H / √(H² + (a²/3))) = (аН√3)/ (3√(H² + (a²/3))).
Двугранный угол при боковом ребре равенлинейному углу РМЕ.
Он равен φ = 2arc tg (PO/OM) = 2arc tg ((а/3)/ аН√3) / (3√(H² + (a²/3))) == √(H² + (a²/3)) / (Н√3).