Найти частные производные до 3 порядка включительно от $z= sqrt{2xy+y^2}$

$z_{x}=frac{1}{2sqrt{2xy+y^2}}*2y=frac{y}{sqrt{2xy+y^2}} z_y=frac{1}{2sqrt{2xy+y^2}}*(2x+2y)= frac{x+y}{sqrt{2xy+y^2}} z_{xy}=z_{yx}=frac{sqrt{2xy+y^2}- y*frac{1}{2sqrt{2xy+y^2}}*(2x+2y)}{2xy+y^2}= =frac{sqrt{2xy+y^2}- frac{xy+y^2}{sqrt{2xy+y^2}}}{2xy+y^2}=frac{2xy+y^2 - xy+y^2}{(2xy+y^2)*sqrt{2xy+y^2}} = =frac{2x+y - x+ y}{(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}} = frac{x+2y}{(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}}$
$z_{x^2}=(y(2xy-y^2)^{-frac1 2})=-frac y 2 (2xy+y^2)^{-frac{3}{2}} z_{y^2}=frac{sqrt{2xy+y^2}-frac{1}{2sqrt{2xy+y^2}}2y(x+y)}{2xy+y^2}= frac{sqrt{2xy+y^2}-frac{y(x+y)}{sqrt{2xy+y^2}}}{2xy+y^2}$
$z_{x^3}=frac{3}{2}2y^2(2xy+y^2)^{-frac{5}{2}}*2y=6y^3(2xy+y^2)^{-frac{5}{2}} z_{y^3}=frac{(2x+2y-1)(2xy+y^2)^{frac 3 2} - (2xy+y^2-x-y)*frac{3}{2}(2xy+y^2)^{frac 1 2}(2x+2y)}{(2xy+y^2)^3}$
$z_{x^2y}=frac{1*(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)frac{2y}{2sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}= frac{(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)frac{y}{sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)} z_{xy^2}= frac{2*(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)frac{2y}{2sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}= frac{2(2x+y)*sqrt{2xy+y^2}-(x+2y)(2*sqrt{2xy+y^2}+(2x+y)frac{y}{sqrt{2xy+y^2}})}{(2x+y)^2(2xy+y^2)}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы