Помогите, пожалуйста!!!!
Вычислить интеграл:
$intlimits { frac{x+2}{x^3-2x^2+2x} } , dx$

Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби.
Для этого разложим знаменатель на множители
х³-2х²+2х=х(х²-2х+2)
Дискриминант квадратного трехчлена х²-2х+2 отрицательный, поэтому на множители не раскладывается
$frac{x+2}{x(x^2-2x+2)} = frac{A}{x} + frac{Mx+N}{x^2-2x+2}$
Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители
х+2=А·(х²-2х+2)+Mx²+Nx
х+2=(А+M)x²+(N-2A)x+2A
Слева многочлен первой степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа
A+M=0
N-2A=1
2A=2

A=1
M=-1
N=1+2A=1+2=3

$1)int frac{dx}{x}=ln|x|+C_1$
$2)int frac{(-x+3)}{x^2-2x+2} dx= int frac{(-x+3)}{(x^2-2x+1)+1} dx= int frac{(-x+3)}{(x-1)^2+1} dx=$
Замена переменной
(х-1)=t
x=t+1
dx=dt
$=int frac{(-(t+1)+3)}{t^2+1} dt=int frac{2-t}{t^2+1} dt=int frac{2}{t^2+1} dt-int frac{t}{t^2+1} dt= =2arctgt- frac{1}{2}ln|t^2+1 |+C_2= 2arctg|x-1|- frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2$
Ответ.
$ln|x|+C_1+2arctg|x-1|- frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2= =ln|x|+2arctg|x-1|- frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C$