Помогите ,пожалуйста,вычислить интеграл:
$intlimits { frac{dx}{x^3+x^2+2x+2} } ,=$

Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби.
Для этого разложим знаменатель на множители
х³+х²+2х+2=х²(x+1)+2(х+1)=(x+1)(x²+2)
Дробь раскладывается на простейшие дроби
$frac{1}{x^3+x^2+2x+2)} = frac{A}{x+1} + frac{Mx+N}{x^2+2}$
Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители
1=А·(х²+2)+Mx²+Nx+Mx+N
1=(А+M)x²+(M+N)x+2A+N
Слева многочлен нулевой степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²+0·х+1
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа
A+M=0 ⇒ A=-M
M+N=0 ⇒ N=-M
2A+N=1

2·(-M)+(-M)=1
M=-1/3
A=1/3
N=1/3
$int frac{1}{x^3+x^2+2x+2}dx= int (frac{ frac{1}{3} }{x+1}+ frac{ -frac{1}{3}x+ frac{1}{3} }{x^2+2} )dx = =frac{1}{3} int frac{1 }{x+1}dx - frac{1}{6}int frac{2x}{x^2+2}dx + frac{1}{3} int frac{1}{x^2+2}dx =frac{1}{3}ln|x+1|-frac{1}{6}ln|x^2+2|+ frac{1}{3}cdot frac{1}{ sqrt{2} }arctg frac{x}{ sqrt{2} }+C$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы