В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона меньшего основания равна 3 см, а боковое ребро , равное 4 см, образует с высотой угол 60 градусов. Найдите объем пирамиды. (пожалуйста с полным решением и рисунком)

Чтобы найти объём, нужно знать высоту пирамиды и площади обоих оснований.

Рассмотрим прямоугольный тр. B1BH:
угол B1 = 60, => угол B = 30
Катет, лежащий против угла в 30 гр., равен половине гипотенузы => B1H = 1/2 BB1 = 1/2 * 4 = 2
Значит, высота пирамиды h = 2.

Тр. A1B1C1 правильный, его площадь можно найти по формуле $/frac{ /sqrt{3} a^2}{4}$ , получится $S_1 = /frac{9 /sqrt{3} }{4}$ см

Точка H является центром правильного тр. ABC, => HВ - радиус описанной окружности. HB можно найти по теореме Пифагора, HВ = 2√3
По этому радиусу можно сразу найти площадь треугольника по формуле
$S_2 = /frac{3 /sqrt{3} R^2}{4} =9 /sqrt{3}$

Объём находится по формуле
$V = /frac{1}{3} h(S_1 + /sqrt{S_1S_2} + S_2) = /frac{2}{3} ( /frac{9 /sqrt{3} }{4}+ /sqrt{/frac{9 /sqrt{3} }{4}*9 /sqrt{3}} + 9 /sqrt{3} ) = /frac{42 /sqrt{3} }{4}$ см

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы