Решите пожалуйста интеграл $/int/limits /sqrt(1+x)/x /, dx$ Решите пожалуйста интеграл

$/int /frac{/sqrt{1+x}}{x}dx$

Замена:

$1+x=t^2// x=t^2-1// dx=2tdt$

$/int /frac{ /sqrt{t^2}}{t^2-1}/cdot 2tdt=2/int /frac{t^2dt}{t^2-1}=2 /int /frac{(t^2-1)+1}{t^2-1}dt=2/int[ /frac{t^2-1}{t^2-1}+ /frac{1}{t^2-1}]dt=//// 2/int[1+ /frac{1}{t^2-1}]dt=2/int dt+2/int /frac{1}{t^2-1}dt=2t+2/int /frac{1}{(t-1)(t+1)}dt=2t+2Y$ ,

где $Y=/int /frac{1}{(t-1)(t+1)}dt$ решим разложением на две простые дроби

$/frac{1}{(t-1)(t+1)}= /frac{a}{t-1}+ /frac{b}{t+1}= /frac{a(t+1)+b(t-1)}{(t-1)(t+1)}= /frac{at+a+bt-b}{(t-1)(t+1)}= /frac{(a+b)t+(a-b)}{(t-1)(t+1)}$

$/left /{ {{a+b=0} /atop {a-b=1}} /right. /Longrightarrow 2a=1 /Longrightarrow a= /frac{1}{2}; b=- /frac{1}{2}$

Тогда

$/int /frac{1}{(t-1)(t+1)}dt= /frac{1}{2}/int /frac{1}{t-1}dt- /frac{1}{2}/int /frac{1}{(t+1)}dt= //// /frac{1}{2}/int /frac{1}{(t-1)}d(t-1)- /frac{1}{2}/int /frac{1}{(t+1)}d(t+1)= /frac{1}{2}/ln|t-1|- /frac{1}{2}/ln |t+1|=//// /frac{1}{2}(/ln |t-1|-/ln|t+1|)= /frac{1}{2}/ln| /frac{t-1}{t+1}|= /frac{1}{2}/ln | /frac{/sqrt{1+x}-1}{/sqrt{1+x}+1}|$

Тогда ответ:

$2/sqrt{1+x}+2/cdot /frac{1}{2}/ln |/frac{/sqrt{1+x}-1}{/sqrt{1+x}+1}|+C=//// 2/sqrt{1+x}+/ln | /frac{/sqrt{1+x}-1}{/sqrt{1+x}+1} |+C$ , где C- константа