Хотелось бы понять, как решить это уравнение.. $cos5x-sin(3x- /pi/2)= /sqrt{2}cos(4x+3 /pi )$

$/cos{5x} - /sin{ ( 3x - /frac{ /pi }{2} ) } = /sqrt{2} /cos{ ( 4x + 3 /pi ) } / ;$

Преобразуем каждое слагаемое:

$/sin{ ( 3x - /frac{ /pi }{2} ) } = - /sin{ ( /frac{ /pi }{2} - 3x ) } = - /cos{3x} / ;$

$/cos{ ( 4x + 3 /pi ) } = /cos{ ( 4x + /pi ) } = - /cos{4x} / ;$

Перепишем всё уравнение в преобразованных слагаемых:

[***] $/cos{5x} + /cos{3x} = - /sqrt{2} /cos{4x} / ;$

Воспользуемся формулой: $/cos{a} + /cos{b} = 2 /cos{ /frac{a+b}{2} } /cos{ /frac{a-b}{2} } / ;$

$/cos{5x} + /cos{3x} = 2 /cos{ /frac{ 5x + 3x }{2} } /cos{ /frac{ 5x - 3x }{2} } = 2 /cos{4x} /cos{x} / ;$

Тогда уравнение [***] можно переписать так:

$2 /cos{4x} /cos{x} = - /sqrt{2} /cos{4x} / ;$

$/sqrt{2} /cos{4x} /cos{x} + /cos{4x} = 0 / ;$

$/cos{4x} ( /sqrt{2} /cos{x} + 1 ) = 0 / ;$

$/left[/begin{array}{l} /cos{4x} = 0 / , // // /cos{x} = -/frac{1}{ /sqrt{2} } / ; /end{array}/right$

$/left[/begin{array}{l} 4x = /frac{ /pi }{2} + /pi k , k /in Z / ; // // x = /pm /frac{3}{4} /pi + 2 /pi n , n /in Z / . /end{array}/right$

О т в е т :

$/left[/begin{array}{l} x = /frac{ /pi }{8} + /frac{ /pi k }{4} , k /in Z / ; // // x = /pm /frac{3}{4} /pi + 2 /pi n , n /in Z / . /end{array}/right$

.