Задание на фото****************************************************************************

Вообще говоря, внутренних касательных две, а поэтому значений искомого угла будет два. Один из этих углов будет прямым, а для второго можно найти лишь параметрическое выражение синуса или косинуса.

Покажем это.

Сначала сделаем построение по условию задачи и введём соответствующие обозначения.

Центр малой окружности   $O / ,$    и соответственно   $OB = r / .$

Центр большой окружности   $Q / ,$    и соответственно   $QC = R / .$

Нам дано расстояние между центрами   $OQ = /sqrt{ 2 ( R^2 + r^2 ) } / .$

Внешняя касательная   $AS / .$

Внутренние касательные, пересекающиеся в точке   $D / ,$
отмечены, как   $CP /$    и   $DL / .$

Из соображений симметрии, очевидно, что точка   $D /in OQ / ,$    а сами врутренние касательные отклонены от   $OQ$    на одинаковый угол в разные стороны.

Через точку   $D /$    проведём   $DH /perp OQ / .$

Обозначим   $/angle PDH = /angle LDH = /angle BOD = /angle CQD = /varphi / ;$

Отметим точку   $E /$    на продолжении   $QC / ,$    так, чтобы   $/Delta EQO /$    – был прямоугольным с прямым углом   $/angle E / .$

Мы пока ещё не доказали, что   $AS || EQ / ,$     поэтому не можем сказать, что   $OE = R - r / ,$ хотя это и видно их рисунка.

Но мы можем найти   $OE /$    через Теорему Пифагора:

$OE = /sqrt{ OQ^2 - EQ^2 } = /sqrt{ ( /sqrt{ 2( R^2 + r^2 ) } )^2 - ( R + r )^2 } = //// = /sqrt{ 2 R^2 + 2 r^2 - R^2 - 2Rr - r^2 } = /sqrt{ R^2 + r^2 - 2Rr } = /sqrt{ ( R - r )^2 } / ;$

$OE = R - r / ;$

$/sin{ /varphi } = /sin{ EQO } = /frac{OE}{OQ} = /frac{R-r}{OQ} / ;$

С другой стороны, в прямоугольной трапеции   $QOTS / :$
$/cos{SQO} = /frac{R-r}{OQ} = /sin{ /varphi } / .$

Значит   $/angle SAQ = /varphi / .$

Т.е.   $/angle PDH = /angle SAQ / ,$    а поскольку   $DH /perp OQ / ,$    то и   $AS /perp CP / ,$    а значит внешняя касательная и одна из внутренних – перпендикулярны.

Вторая внутренняя касательная   $DL /$    отклонена от внешней касательной   $AS /$    на угол   $/angle DVT / .$

$/sin{ /angle DVT } = /cos{ /angle LDP } = /cos{ ( 2 /angle HDP ) } = /cos{ 2 /varphi } = //// = 1 - 2 /sin^2{ /varphi } = 1 - 2 ( /frac{R-r}{OQ} )^2 = 1 - /frac{ 2( R - r )^2 }{ 2( R^2 + r^2 ) } = //// = 1 - /frac{ ( R - r )^2 }{ R^2 + r^2 } = /frac{ R^2 + r^2 - R^2 + 2Rr - r^2 }{ R^2 + r^2 } = /frac{2Rr}{ R^2 + r^2 } / ;$

В частности, если радиусы равны,   $/sin{ /angle DVT } = 1 / ,$    что очевидно верно.

О т в е т : $/varphi /in /{ / arcsin{ /frac{2Rr}{ R^2 + r^2 } } / , / 90^o / /} / .$