Решить определенный интеграл: $/int/limits^3_0 { x^2 /sqrt{9-x^2} } /, dx$

$/int _0^3/, x^2/sqrt{9-x^2}dx=[/, x=3sint,/, dx=3cost/, dt,/,//// 9-x^2=9-9sin^2t=9(1-sin^2t)=9cos^2t,/; sint=/frac{x}{3},/; t=arcsin/frac{x}{3}////x_1=0/; /to /; t_1=arcsin0=0,/; x_2=3 /; /to /; t_2=arcsin1=/frac{/pi}{2} ]=////=/int _0^{/frac{/pi}{2}}9sin^2t/sqrt{9cos^2t}/cdot 3cost/, dt=/int _0^{/frac{/pi}{2}}/, 81sin^2t/cdot cos^2t/, dt=////=81/int _0^{/frac{/pi}{2}}(sint/cdot cost)^2dt=[/, sint/cdot cost=/frac{1}{2}sin2t/, ]=81/int _0^{/frac{/pi}{2}}/frac{1}{4}sin^22t/, dt=$

$=/frac{81}{4}/int _0^{/frac{/pi}{2}}/, /frac{1-cos4t}{2}dt=/frac{81}{8}(t-/frac{1}{4}sin4t)|_0^{/frac{/pi}{2}}=/frac{81}{8}(/frac{/pi}{2}-0)=/frac{81}{16}/pi$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы