Спростити вираз:
cos 3a+cos 4a+cos 5a
sin 3a+sin 4a+sin 5a
-це знамените з чисельником

Воспользуемся формулой:

$/cos{x} + /cos{y} = 2 /cos{ /frac{ x + y }{2} } /cos{ /frac{ x - y }{2} } / ;$

И получим, что:

$/cos{3a} + /cos{4a} + /cos{5a} = /cos{3a} + /cos{5a} + /cos{4a} = //// = 2 /cos{ /frac{ 3a + 5a }{2} } /cos{ /frac{ 3a - 5a }{2} } + /cos{4a} = 2 /cos{ /frac{ 8a }{2} } /cos{ /frac{ -2a }{2} } + /cos{4a} = //// = 2 /cos{4a} /cos{a} + /cos{4a} = /cos{4a} ( 2 /cos{a} + 1 ) / ;$

Вывод: $/cos{3a} + /cos{4a} + /cos{5a} = /cos{4a} ( 2 /cos{a} + 1 ) / ;$

$/sin{3a} + /sin{4a} + /sin{5a} = /cos{ ( /frac{ /pi }{2} - 3a ) } + /cos{ ( /frac{ /pi }{2} - 5a ) } + /sin{4a} = //// = 2 /cos{ /frac{ [ /pi/2 - 3a ] + [ /pi/2 - 5a ] }{2} } /cos{ /frac{ [ /pi/2 - 3a ] - [ /pi/2 - 5a ] }{2} } + /sin{4a} = //// = 2 /cos{ /frac{ /pi - 8a }{2} } /cos{ /frac{ 2a }{2} } + /sin{4a} = 2 /cos{ ( /frac{ /pi }{2} - 4a ) } /cos{a} + /sin{4a} / ;$

Вывод: $/sin{3a} + /sin{4a} + /sin{5a} = /sin{4a} ( 2 /cos{a} + 1 ) / ;$

А теперь всё подставляя, получаем, что:

$/frac{ /cos{3a} + /cos{4a} + /cos{5a} }{ /sin{3a} + /sin{4a} + /sin{5a} } = /frac{ /cos{4a} ( 2 /cos{a} + 1 ) }{ /sin{4a} ( 2 /cos{a} + 1 ) } = /frac{ /cos{4a} }{ /sin{4a} } = ctg{4a} / .$