Определите значение а, при которых уравнение Х^3+6X^2+ах=0 имеет два корня. найдите эти корни

$x^3 + 6x^2 + a x = 0 / ;$

$x ( x^2 + 6x + a ) = 0 / ;$

Итак, ясно что данное уравнение всегда имеет один корень    $x = 0 / .$

Значит, нужно найти условие, когда:

1) либо один (и только один) из двух разных корней квадратного уравнения    $x^2 + 6x + a = 0 /$     тоже будет равен нулю,

2) либо квадратное уравнение:    $x^2 + 6x + a = 0 /$
будет иметь ровно один корень.

1*) При подстановке в квадратное уравнение    $x = 0 / ,$ получаем, что    $0^2 + 6 /cdot 0 + a = 0 / ,$     это верное только при    $a = 0 / .$

В самом деле, уравнение:    $x^3 + 6x^2 + 0 /cdot x = 0 / ; /Rightarrow / x^2 ( x + 6 ) = 0 / ;$     имеет как раз два корня    $x /in /{ -6 , 0 /} / .$

2*) квадратное уравнение:    $x^2 + 6x + a = 0 /$     имеет ровно один корень, когда его дискриминант равен нулю, т.е.:

$/frac{D}{4} = 3^2 - a = 0 / ; / /Rightarrow / a = 9 / ;$

В самом деле, уравнение:    $x^3 + 6x^2 + 9x = 0 / ; /Rightarrow / x ( x^2 + 6x + 9 ) = 0 / ;$     имеет как раз два корня    $x /in /{ -3 , 0 /} / .$

О т в е т :    $( / a / ; / x_1 ; x_2 / ) /in / /{ / ( / 0 / ; / -6 ; 0 / ) / , / ( / 9 / ; / -3 ; 0 / ) / /} / .$