Найдите значение выражения 2(a⁴+ b⁴+c⁴), если известно, что числа a, b, c
удовлетворяют системе из трех уравнений:
a + b + c = 4,
a² + b² + c² = 9,
a³ + b³ + c³ = 19

$16=4^4=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)= // =9+2(ab+ac+bc)$
отсюда $ab+ac+bc= /frac{16-9}{2} = /frac{7}{2} (1).$
Далее, есть формула:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc)) // 19-3abc=4(9- /frac{7}{2})=4 /frac{11}{2} =22$
отсюда 3abc=19-22=-3, значит abc=-1 (2).
$81=9^2=(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$ (3)
из (1) возведя в квадрат имеем:
$a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc(a+b+c)=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+8abc= /frac{49}{4}$
используя (2) имеем: $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=/frac{49}{4}-8abc=/frac{49}{4}+8=/frac{49+32}{4}=[tex]/frac{81}{4}$
подставляем в (3)
$81=a^4+b^4+c^4+2/frac{81}{4} // a^4+b^4+c^4=/frac{81}{2} // 2(a^4+b^4+c^4)=81$
как-то так