Восстанови функции используя данные её производных, изображенных на графиках в приложении.

Вторая производная – прямая, задаваемая линейной функцией, имеет точки пересечения с осями Ox и Oy: ( 1; 0 ) и ( 0; –2 ) – соответственно:

Уравнение линейной функции    $y = kx + p / .$

Составим систему уравнений,
подставив в уравнение прямой две указанные выше точки:

$/left/{/begin{array}{l} 0 = k /cdot 1 + p / , // -2 = k /cdot 0 + p / ; /end{array}/right$

$/left/{/begin{array}{l} 0 = k /cdot 1 + p / , // -2 = p / ; /end{array}/right$

$/left/{/begin{array}{l} 0 = k - 2 / , // p = -2 / ; /end{array}/right$

$( k; p ) = ( 2; -2 ) / ;$

Итак, уравнение второй производной:    $f_x (x) = 2x - 2 / .$

Заметим, что третья производная будет иметь уравнение:    $f_x (x) = 2 / ,$     что точно не соответствует графику    $y / /Rightarrow / / f_x (x) = -6 / ,$     а поэтому будем считать график    $y = -6 / ,$     для третьей производной – данным в задании ошибочно.

Первая производная является одной из первообразных с неопределённым слагаемым для второй производной, а поэтому находится интегрированием:

$f_x (x) = /int{ f_x (x) } /, dx = /int{ ( 2x - 2 ) } /, dx = /int{2x} /, dx - 2 /int{dx} = x^2 - 2x + C_1 / .$

При x = 0, что видно по графику:    $f_x (x=0) = -4 / ;$

Т.е.:    $f_x (0) = 0^2 - 2 /cdot 0 + C_1 = -4 / ;$

$C_1 = -4 / ;$

Итак, уравнение первой производной:    $f_x (x) = x^2 - 2x - 4 / .$

Функция является одной из первообразных с неопределённым слагаемым для своей производной, а поэтому находится интегрированием:

$f(x) = /int{ f_x (x) } /, dx = /int{ ( x^2 - 2x - 4 ) } /, dx = //// = /int{x^2} /, dx - /int{2x} /, dx - 4 /int{dx} = /frac{x^3}{3} - x^2 - 2x + C / .$

При x = 0, что видно по графику:    $f(x=0) = 0 / ;$

Т.е.:    $f(0) = /frac{0^3}{3} - 0^2 - 2 /cdot 0 + C = 0 / ;$

$C = 0 / ;$

Итак уравнение функции:    $f(x) = /frac{x^3}{3} - x^2 - 2x / .$

О т в е т :    $f(x) = /frac{x^3}{3} - x^2 - 2x / .$

*** Если считать, что третья производная дана не "по ошибке", то у задачи НЕ СУЩЕСТВУЕТ решений.