Имея в виду табличные интегралы:
$/$
$1T). / / / / /int{dx} = x + C / ;$
$2T). / / / / /int{x^n} /, dx = /frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C / ; / / / / n /neq -1 / ;$
$3T). / / / / /int{ /frac{dx}{x} } = /ln{|x|} + C / ;$
выведем ещё один:
учтём, что:
$dx^2 = 2xdx / ; / / /Rightarrow / / 2xdx = dx^2 / ; / / /Rightarrow //// /Rightarrow / / /int{ f(x) } /, xdx = /frac{1}{2} /int{ f(x) } /, 2xdx = /frac{1}{2} /int{ f(x) } /, dx^2 / ;$
тогда:
$/int{ /frac{x}{ x^2 /pm a } } /, dx = /frac{1}{2} /int{ /frac{ 2xdx }{ x^2 /pm a } } = /frac{1}{2} /int{ /frac{ dx^2 }{ x^2 /pm a } } = /frac{1}{2} /int{ /frac{ d( x^2 /pm a ) }{ x^2 /pm a } } = /frac{1}{2} /ln{ | x^2 /pm a | } + C / ;$
Итак:
$1T). / / / / /int{dx} = x + C / ;$
$2T). / / / / /int{x^n} /, dx = /frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C / ; / / / / n /neq -1 / ;$
$3T). / / / / /int{ /frac{dx}{x} } = /ln{|x|} + C / ;$
$4T). / / / / /int{ /frac{x}{ x^2 /pm a } } /, dx = /frac{1}{2} /ln{ | x^2 /pm a | } + C / ;$
Возьмём интеграл:
$/int{ d ( arcCtg{x} ) } = arcCtg{x} + C / ;$
$/int{ d ( sh{x} ) } = sh{x} + C / ;$
Возьмём интеграл:
$/int{ ( (x-3)^5 - (5-x)^3 ) } /, dx = /int{ (x-3)^5 } /, d(x-3) + /int{ (x-5)^3 } /, d(x-5) = //// = /frac{ (x-3)^6 }{6} + /frac{ (x-5)^4 }{4} + C / ;$
Проверим:
$( /frac{ (x-3)^6 }{6} + /frac{ (x-5)^4 }{4} + C )_x = ( /frac{ (x-3)^6 }{6} )_x + ( /frac{ (x-5)^4 }{4} )_x = //// = 6 /cdot /frac{ (x-3)^{6-1} }{6} + 4 /cdot /frac{ (x-5)^{4-1} }{4} = (x-3)^5 - (5-x)^3 / ;$
Возьмём интеграл:
$/int{ /frac{dx}{ (x+11)^4 } } = /int{ (x+11)^{-4} } /, d(x+11) = //// = /frac{ (x+11)^{-4+1} }{ -4+1 } + C = - /frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C / ;$
Проверим:
$( - /frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C )_x = (-3) /cdot ( - /frac{1}{ 3 (x+11)^{3+1} } ) = /frac{1}{ (x+11)^4 } / ;$
Возьмём интеграл:
$/int{ /frac{2dx}{7x+1} } = 2 /int{ /frac{dx}{7x+1} } = /frac{2}{7} /int{ /frac{d(7x)}{7x+1} } = /frac{2}{7} /int{ /frac{d(7x+1)}{7x+1} } = /frac{2}{7} /ln{|7x+1|} + C / ;$
Проверим:
$( / /frac{2}{7} /ln{|7x+1|} + C )_x = /frac{2}{7} /cdot /frac{1}{7x+1} /cdot 7 = /frac{2}{7x+1} / ;$
Возьмём интеграл:
$/int{ /frac{5xdx}{3x^2-2} } = /frac{5}{2} /int{ /frac{2xdx}{3x^2-2} } = /frac{5}{2} /int{ /frac{dx^2}{3x^2-2} } = //// = /frac{5}{6} /int{ /frac{d3x^2}{3x^2-2} } = /frac{5}{6} /int{ /frac{d(3x^2-2)}{3x^2-2} } = /frac{5}{6} /ln{ | 3x^2-2 | } + C / ;$
Проверим:
$( /frac{5}{6} /ln{ | 3x^2-2 | } + C )_x = /frac{5}{6} /cdot /frac{1}{3x^2-2} /cdot 3 /cdot 2x = /frac{5x}{3x^2-2} / ;$

З А Д А Н И Е:
Найти неопределённый (обычный) интеграл и
проверить его дифференцированием (взять проиводную, кроме 1-ого номера):
$1a). / / / / /int{ d ( arcsin{x} ) } / ;$
$1b). / / / / /int{ d|x| } / ;$
$1c). / / / / /int{ d /ln{ arctg{x} } } / ;$
$2a). / / / / /int{ ( 8x^3 - 12(2-x)^5 ) } /, dx / ;$
$2b). / / / / /int{ ( 28(37-x)^{111} - 19(3+x)^{37} ) } /, dx / ;$
$2c). / / / / /int{ /frac{6dx}{ (x-12)^3 } } / ;$
$2d). / / / / /int{ /frac{12dx}{ (19-x)^7 } } / ;$
$3a). / / / / /int{ /frac{3dx}{ 9-2x } } / ;$
$3b). / / / / /int{ /frac{2dx}{ 3x-7 } } / ;$
$4a). / / / / /int{ /frac{4xdx}{ 2x^2-5 } } / ;$
$4b). / / / / /int{ /frac{11xdx}{ 7x^2+6 } } / ;$
$4c). / / / / /int{ /frac{3xdx}{ (3x)^2-2 } } / ;$

$1a). / / /int d(/arcsin x)=/arcsin x+C//// 1b). / / /int d|x|=|x|+C//// 1c). / / /int d/ln /arctan x=/ln (/arctan x)+C$

$2a). / / /int (8x^3-12(2-x)^5)dx=/int 8x^3dx-/int 12(2-x)^5dx=//// =8/int x^3dx+12/int(2-x)^5d(2-x)=8/cdot /frac{x^4}{4}+ /frac{12(2-x)^6}{6}+C=//// =2x^4+2(2-x)^6+C$

Проверка:

$(2x^4+2(2-x)^6)=8x^3+2/cdot6/cdot(-1)/cdot(2-x)^5/cdot=8x^3-12(2-x)^5$

$2b). / / /int(28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37})dx= //// //// = /int28(37-x)^{111}dx-/int19(3+x)^{37}dx= //// =-28/int(37-x)^{111}d(37-x)-19/int(3+x)^{37}d(3+x)=////=/frac{-28(37-x)^{112}}{112}- /frac{19(3+x)^{38}}{38}+C=////=-/frac{(37-x)^{112}}{4}- /frac{(3+x)^{38}}{2}+C=////=-/frac{1}{4}(37-x)^{112}-/frac{1}{2}(3+x)^{38}+C$

Проверка:

$(-/frac{1}{4}(37-x)^{112}-/frac{1}{2}(3+x)^{38})=////=-/frac{1}{4}((37-x)^{112}})- /frac{1}{2}((3+x)^{38})=////=-/frac{1}{4}/cdot 112/cdot(-1)/cdot(37-x)^{111}- /frac{1}{2}/cdot38/cdot1/cdot(3+x)^{37}=//// =28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37}$

$2c). / / /int /frac{6dx}{(x-12)^3} =6/int(x-12)^{-3}d(x-12)=6/cdot /frac{(x-12)^{-2}}{-2}+C=- /frac{3}{(x-12)^2} +C$

Проверка:

$(- /frac{3}{(x-12)^2} )=-3/cdot((x-12)^{-2})=-3/cdot(-2)/cdot(x-12)^{-3}= /frac{6}{(x-12)^3}$

$2d). / / /int /frac{12dx}{(19-x)^7}=12/int (19-x)^{-7}dx=////=-12/int(19-x)^{-7}d(19-x)=-12/cdot /frac{(19-x)^{-6}}{-6}+C= /frac{2}{(19-x)^6}+C$

Проверка:

$( /frac{2}{(19-x)^6})=2/cdot((19-x)^{-6})=2/cdot(-6)(-1)/cdot(19-x)^{-7}=12(19-x)^{-7}= /frac{12}{(19-x)^7}$

$3a). / / /int /frac{3dx}{9-2x} =3/int /frac{dx}{9-2x} =- /frac{3}{2} /int /frac{d(9-2x)}{9-2x}=- /frac{3}{2}/ln|9-2x|+C$

Проверка:

$- /frac{3}{2}(/ln|9-2x|)=- /frac{3}{2}/cdot(-2)/cdot /frac{1}{9-2x}= /frac{3}{9-2x}$

$3b). / / /int /frac{2dx}{3x-7}=2/int /frac{dx}{3x-7}= /frac{2}{3} /int /frac{d(3x-7)}{3x-7}= /frac{2}{3}/ln|3x-7|+C$

Проверка:

$( /frac{2}{3}/ln|3x-7|)= /frac{2}{3}/cdot3/cdot /frac{1}{3x-7}= /frac{2}{3x-7}$

$4a). / / /int /frac{4xdx}{2x^2-5}= /frac{4}{2}/int /frac{2xdx}{2x^2-5}=2/int /frac{dx^2}{2x^2-5}= /frac{2}{2}/int /frac{d2x^2}{2x^2-5} =/int /frac{d(3x^2-5)}{3x^2-5}=//// =/ln |2x^2-5|+C$

Проверка:

$(/ln |2x^2-5|)= /frac{1}{2x^2-5} /cdot 4x= /frac{4x}{2x^2-5}$

$4b). / / /int /frac{11xdx}{7x^2+6}= /frac{11}{2}/int /frac{2xdx}{7x^2+6}= /frac{11}{14} /int /frac{d7x^2}{7x^2+6}= /frac{11}{14}/int /frac{d(7x^2+6)}{7x^2+6}= /frac{11}{14}/ln |7x^2+6|+C$

Проверка:

$( /frac{11}{14}/ln|7x^2+6| )= /frac{11}{14}/cdot(/ln|7x^2+6|)/cdot(7x^2+6)= /frac{11}{14}/cdot14x/cdot /frac{1}{7x^2+6}=//// = /frac{11x}{7x^2+6}$

$4c). / / /int /frac{3xdx}{(3x)^2-2}= /frac{3}{2}/int /frac{2xdx}{9x^2-2}= /frac{3}{2} /int /frac{dx^2}{9x^2-2}= /frac{3}{2}/cdot /frac{1}{9}/int /frac{d9x^2}{9x^2-2}=//// = /frac{1}{6}/int /frac{d(9x^2-2)}{9x^2-2}= /frac{1}{6}/ln|9x^2-2|+C$

Проверка:

$( /frac{1}{6}/ln|9x^2-x|)= /frac{1}{6}(/ln|9x^2-2|)/cdot(9x^2-2)= /frac{1}{6}/cdot18x/cdot /frac{1}{9x^2-2}= /frac{3x}{ 9x^2-2}$