Найдите велечину:
1) 12% которой равны 18 м ; 75 м ;
2) 8% которого равны 56 кг; 4 кг
3) 15% которого равны 12 см; 2,7 см
4) 24% который равны 9,6 т; 42 т;
5) 35% которого равны 21 км; 11,2 км
6) 75% которого равны 15 ц; 90 ц.

В любом параллелограмме:

1) Противоположные стороны равны2) Противоположные углы равны3) Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Давай проведём диагональ AC/displaystyle ACAC. Что получится?
Два треугольника: ABC/displaystyle ABCABC и ADC/displaystyle ADCADC.

Раз ABCD/displaystyle ABCDABCD – параллелограмм, то :

AD∣∣BC/displaystyle AD||BCAD∣∣BC ⇒ ∠1=∠2/displaystyle /Rightarrow ~/angle 1=/angle 2⇒ ∠1=∠2 как накрест лежащиеAB∣∣CD /displaystyle AB||CD/AB∣∣CD ⇒ ∠3=∠4/displaystyle /Rightarrow ~/angle 3=/angle 4⇒ ∠3=∠4 как накрест лежащие.

Значит, ΔABC=ΔADC/displaystyle /Delta ABC=/Delta ADCΔABC=ΔADC (по II признаку: ∠1=∠2, ∠3=∠4 /displaystyle /angle 1=/angle 2,~~/angle 3=/angle 4~∠1=∠2, ∠3=∠4 и AC/displaystyle ACAC - общая.)

Ну вот, а раз ΔABC=ΔADC/displaystyle /Delta ABC=/Delta ADCΔABC=ΔADC, то AB=CD/displaystyle AB=CDAB=CD и AD=BC/displaystyle AD=BCAD=BC – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь ∠1+∠3=∠2+∠4/displaystyle /angle 1+/angle 3=/angle 2+/angle 4∠1+∠3=∠2+∠4 (смотри на картинку), то есть ∠A=∠C/displaystyle /angle A=/angle C∠A=∠C, а ∠B=∠D/displaystyle /angle B=/angle D∠B=∠D именно потому, что ΔABC=ΔADC/displaystyle /Delta ABC=/Delta ADCΔABC=ΔADC.

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Мы уже выяснили, что AB=CD/displaystyle AB=CDAB=CD. Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что ΔAOB=ΔCOD/displaystyle /Delta AOB=/Delta CODΔAOB=ΔCOD - по II признаку (2/displaystyle 22 угла и сторона «между» ними).

Значит, BO=OD/displaystyle BO=ODBO=OD (напротив углов ∠2/displaystyle /angle 2∠2 и ∠1/displaystyle /angle 1∠1) и AO=OC/displaystyle AO=OCAO=OC (напротив углов ∠3/displaystyle /angle 3∠3 и ∠4/displaystyle /angle 4∠4 соответственно).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

AB=CD/displaystyle AB=CDAB=CD;AB∥CD/displaystyle AB/parallel CDAB∥CD ⇒/displaystyle /Rightarrow⇒ ABCD/displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему AD∥BC/displaystyle AD/parallel BCAD∥BC – этого хватит. Но смотри:

ΔABC=ΔADC/displaystyle /Delta ABC=/Delta ADCΔABC=ΔADC по 1 признаку: AB=CD/displaystyle AB=CDAB=CD, AC/displaystyle ACAC- общая и ∠1=∠2/displaystyle /angle 1=/angle 2∠1=∠2 как накрест лежащие при параллельных AB/displaystyle ABAB и CD/displaystyle CDCD и секущей AC/displaystyle ACAC.

А раз ΔABC=ΔADC/displaystyle /Delta ABC=/Delta ADCΔABC=ΔADC,

то ∠3=∠4/displaystyle /angle 3= /angle 4∠3=∠4 (лежат напротив AB/displaystyle ABAB и CD/displaystyle CDCD соответственно). Но это значит, что AD∣∣BC/displaystyle AD||BCAD∣∣BC (∠3/displaystyle /angle 3∠3 и ∠4/displaystyle /angle 4∠4 - накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, .

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.AB=CD/displaystyle AB=CDAB=CD, AD=BC/displaystyle AD=BCAD=BC ⇒/displaystyle /Rightarrow⇒ ABCD/displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.

Снова проведём диагональ AC/displaystyle ACAC.

Теперь ΔABC=ΔACD/displaystyle /Delta ABC=/Delta ACDΔABC=ΔACD просто по трём сторонам.

А значит:

∠1=∠2/displaystyle /angle 1=/angle 2∠1=∠2 ⇒AD∥BC/displaystyle /Rightarrow AD/parallel BC⇒AD∥BC и ∠3=∠4/displaystyle /angle 3=/angle 4∠3=∠4 ⇒AB∥CD/displaystyle /Rightarrow AB/parallel CD⇒AB∥CD, то есть ABCD/displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.∠A=∠C/displaystyle /angle A=/angle C∠A=∠C, ∠B=∠D/displaystyle /angle B=/angle D∠B=∠D ⇒/displaystyle /Rightarrow⇒ ABCD/displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.

2α+2β=360∘/displaystyle 2/alpha +2/beta =360{}^/circ2α+2β=360∘ (ведь ABCD/displaystyle ABCDABCD – четырехугольник, а ∠A=∠C/displaystyle /angle A=/angle C∠A=∠C, ∠B=∠D/displaystyle /angle B=/angle D∠B=∠D по условию).

Значит, α+β=180∘/displaystyle /alpha +/beta =180{}^/circα+β=180∘. Ух! Но α/displaystyle /alphaα и β/displaystyle /betaβ – внутренние односторонние при секущей AB/displaystyle ABAB!

Поэтому тот факт, что α+β=180∘/displaystyle /alpha +/beta =180{}^/circα+β=180∘ означает, что AD∥BC/displaystyle AD/parallel BCAD∥BC.

А если посмотришь с другой стороны, то α/displaystyle /alphaα и β/displaystyle /betaβ – внутренние односторонние при секущей AD/displaystyle ADAD! И поэтому AB∥CD/displaystyle AB/parallel CDAB∥CD.

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.AO=OC/displaystyle AO=OCAO=OC; BO=OD/displaystyle BO=ODBO=OD ⇒/displaystyle /Rightarrow⇒ ABCD/displaystyle ABCDABCD – параллелограмм.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы