Только самый умный и усидчивый ботан сможет решить!Слабакам не смотреть сюда...

$cos2x+cos x+1=0 2cos^2x-1+cos x+1=0 2cos^2x+cos x=0 cos x(2cos x+1)=0 left[begin{array}{ccc}cos x=0 cos x=- frac{1}{2} end{array}rightto left[begin{array}{ccc}x_1= frac{pi}{2}+ pi k,k in Z x_2=pm frac{2pi}{3}+2pi n,n in Z end{array}right$

$sin^2x+sin xcos x-2cos^2x=0|:cos^2x tg^2x+tg x-2=0$
Пусть tg x=t, тогда получаем
$t^2+t-2=0$
По т. Виета
$t_1=1 t_2=-2$
Возвращаемся к замене
$left[begin{array}{ccc}tg x=1 tgx=-2end{array}rightto left[begin{array}{ccc}x_1= frac{pi}{4}+pi n,n in Z x_2=-arctg2 + pi n,n in Z end{array}right$

$sin 2x-2cos 2x=0|:cos 2x tg 2x-2=0 tg2x=2 2x=arctg2+ pi n,n in Z x= frac{arctg2+pi n}{2} , n in Z$

$sin x+sin 5x+cos 2x=0 2sin 3xcos 2x+cos 2x=0 cos 2x(2sin 3x+1)=0 left[begin{array}{ccc}cos 2x=0 sin 3x=- frac{1}{2} end{array}rightto left[begin{array}{ccc}x_1= frac{pi}{4}+ frac{pi n}{2}, n in Z x_2=(-1)^{k+1}cdot frac{pi}{18}+ frac{pi k}{3}, k in Z end{array}right$