Вася получил на дом пример: вычислить 1•2+2•3+3•4+...+99•100.Потратив все ночь,Вася вычислил и получил 20122013. Докажите,что он не ошибся

Докажем по индукции, что $S_n=1cdot2+2cdot 3+ldots+(n-1)n=(n-1)n(n+1)/3$ . Для $S_1$ это верно. Предположим, что это верно для n.
Тогда
$S_{n+1}=S_n+n(n+1)=(n-1)n(n+1)/3+n(n+1)= =n(n+1)((n-1)/3+1)=n(n+1)(n+2)/3$ .
Получаем как раз то, что должно было получиться при подстановке n+1 вместо n в самой первой формуле. Значит она верна.
Таким образом $S_{100}=99cdot100cdot101/3=333300$ . А значит Вася ошибся. Правильный ответ в этой сумме 333300.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы