В 1‐й день завод изготовил 1454 детали и упаковал их в коробки двух видов:
большие и маленькие. Известно, что маленькая коробка вмещает 5 деталей. Во 2‐й
день было изготовлено и упаковано в такие же коробки 1467 деталей. При этом в
первый день было использовано столько маленьких коробок, сколько больших во
второй, а во второй день – столько маленьких коробок, сколько больших в первый.
Сколько маленьких коробок было использовано в 1‐й день?

Пусть в первый день было x маленьких коробок и y больших, а в большую коробку вмещается a деталей (x, y и a - натуральные числа). Тогда
$begin{cases}5x+ay=1454ax+5y=1467end{cases};;;;;;(1)$
Вычтем из второго уравнения первое, получим
$ax+5y-5x-ay=1467-1454a(x-y)+5(y-x)=13a(x-y)-5(x-y)=13(x-y)(a-5)=13$
13 - простое число. Значит, одна из "скобок" равна 13, другая - 1.
Рассмотрим оба случая:
$1.;begin{cases}x-y=13a-5=1end{cases}Rightarrowbegin{cases}y=x-13a=6end{cases}$
Подставим эти значения в первое уравнение системы (1):
$5x+6(x-13)=14545x+6x-78=145411x=1532$
Здесь целочисленного решения не получается, значит этот вариант не подходит.
$2.;begin{cases}x-y=1a-5=13end{cases}Rightarrowbegin{cases}y=x-1a=18end{cases}$
Подставляем:
$5x+18(x-1)=14545x+18x-18=145423x=1472x=64$
Получили целочисленное решение.

Ответ: в первый день было использовано 64 маленькие коробки.