Найдите наибольшее значение выражения x^2/x-1
Если x^2+ (x/x-1)^2=8

Решаем уравнение $x^2+ ( frac{x}{x-1})^2=8$
1) Домножаем все на (x-1)² и переносим все в одну сторону, получаем
x²(x-1)²+x²-8(x-1)²=0
2) Раскрыв скобки, имеем: $x^4-2x^3-6x^2+16x-8=0$
3) Разложим на множители левую часть делением многочлена на двучлен (постепенно):
(x-2)²(x²+2x-2)=0
x-2 = 0 или х²+2х-2=0
Отсюда: $x_1=2, x_2= -1-sqrt3, x_3=-1+sqrt3.$

Вычислим значения дроби $frac{x^2}{x-1}$ для каждого решения х, и выберем наибольшее значение:
$x_1=2 = textgreater frac{2^2}{2-1}=4$
$x_2= -1-sqrt3 = textgreater frac{(-1-sqrt3)^2}{-1-sqrt3-1}=frac{4+2sqrt3}{-2-sqrt3}=frac{2(2+sqrt3)}{-(2+sqrt3)}=-2$
$x_3= -1+sqrt3 = textgreater frac{(-1+sqrt3)^2}{-1+sqrt3-1}=frac{4-2sqrt3}{-2+sqrt3}=frac{2(2-sqrt3)}{-(2-sqrt3)}=-2$
Наибольшее - число 4.