Определить период обращения Луны вокруг Земли , если ускорение свободного падения на полюсах Земли равно 9,83 м/c2, радиус Земли 6370 км, а расстояние между центрами Земли и Луны 3,84∙10^8 км.

Давайте считать, что Луна движется по круговой орбите, иначе задачу мы с вами не решим.
Пишем уравнение движения Луны в проекциях на радиус-вектор из Земли в Луну:
$momega^2R=Gfrac{mM}{R^2}$ ,
здесь $m$ - масса Луны, $M$ - масса Земли, $R$ - радиус орбиты Луны.
Еще мы знаем, что $omega T=2pi$
С учетом только что сказанного, $T^2=4pi^2frac{R^3}{GM}$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли дается уравнением $g_0=frac{GM}{r^2}$ , где $r$ - радиус Земли.
Собираем все в одну формулу и получаем ответ:
$boxed{T^2=4pi^2 frac{R^3}{gr^2}}$