Помогите пожалуйста: 1) Найти значeние производной в точке.
2) Составить уравнение касательных к графику функции.

$1)~f(x)=lnx*e^{1-2x} ~~~~f(x)=(lnx)e^{1-2x}+lnx(e^{1-2x}})= frac{1}{x} *e^{1-2x}+lnx*(-2)*e^{1-2x}= =frac{e^{1-2x}}{x} -2lnx*e^{1-2x} f(1)= frac{e^{1-2*1}}{1} -2ln1*e^{1-2*1}=e^{-1}-0= frac{1}{e}$

$2)~f(x)= frac{1}{3} x^3-x^2-x+1$
Уравнение касательной имеет вид:
$y=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)$

Так как нам дано уравнение параллельной прямой $y=2x+5$ , то мы узнаём коэффициент касательной, он же и производная функции.
$f(x_0)=k=2$

Найдем производную функции, а затем приравняем её к $2$ , тем самым мы найдём $x_0$ - точки касания.

$f(x)=x^2-2x-1 x^2-2x-1 =2 x^2-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0$

$x=-1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=3$
Теперь возвращаемся к формуле. Работаем с каждой точкой касания отдельно: находим для каждой точки всё, что нужно в формулу:

Для $x_0=-1$ :
$f(-1)= frac{1}{3} *(-1)^3-(-1)^2-(-1)+1= -frac{1}{3} -1+1+1=- frac{1}{3} +1= frac{2}{3}$

Для $x_0=3$ :
$f(3)= frac{1}{3} *3^3-3^2-3+1=frac{1}{3}*27-9-2=9-9-2=-2$

$f(x_0)=2$ - Это нам известно для обеих формул.

Теперь можем составить две формулы (т.к. две точки касания):
$y=frac{2}{3}+2(x+1)=frac{2}{3}+2x+2=2x+frac{8}{3} 1)~y=2x+frac{8}{3}$
$y=-2+2(x-3)=-2+2x-6=2x-8 2)~y=2x-8$

Ответ: $1)~y=2x+frac{8}{3};~~~~2)~y=2x-8$